Prof. MSc. HENRIQUE STARICK

Apresentação em tema: "Prof. MSc. HENRIQUE STARICK"— Transcrição da apresentação:

1 Prof. MSc. HENRIQUE STARICK
GRADUAÇÃO : Matemática (FAFITO) Física ( UNIG) POS GRADUAÇÃO Matemática e Estatística (UFLA) MESTRADO Mestre Ciências Superiores (UMCC - Cuba)

2 FUNÇÃO RELAÇÃO: Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, definimos uma relação R de A em B como um subconjunto de A x B; portanto R está contido em A x B. Considere A={0 ; 1} e B = {2 ; 3}.Temos: A x B ={( 0 ; 2),(0 ; 3), (1; 2), (1 ; 3)}

3 NOTAÇÃO: Podemos escrever uma relação de A em B das seguintes formas:
Nomeando seus pares ordenados; R1 ={(0 ; 2),(0 ; 3),(1 ; 2), (1 ; 3)} Através de uma sentença matemática; R2= {(x,y) Є A x B | y = x + 1}, onde cada conjunto é representado A = {0 ; 1} B = {2 ; 3}. DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO Ao conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados (x,y), de uma

4 Relação damos o nome de domínio e representamos
Por D(R). Os segundos elementos desses pares formam o conjunto do contra domínio CD(R). Os elementos em que o primeiro conjunto faz relação com os elementos do segundo conjunto, chamamos de conjunto imagem, representado por Im(R). REPRESENTAÇÃO DE UMA RELAÇÃO Podemos representar uma relação ou por um diagrama de setas ou no plano cartesiano. VEJAMOS UM EXEMPLO A SEGUIR.

5 Sendo A= {1 ; 2} e B = {3; 4; 5; 6},temos sua representação no diagrama de setas. Dada a função Y = x + 3, onde D ={1; 2}, CD ={3;4;5;6} e Im = {4 ; 5} 1 2 3 4 5 6

6 REPRESENTAÇÃO NO PLANO CARTESIANO
COORDENADAS (1 ; 4) e (2 ; 5) CONTRA DOMÍNIO Y 6 5 4 3 2 1 (2 ; 5) (1 ; 4) DOMÍNIO X

7 EXERCITANDO: SENDO R UMA RELAÇÃO POR R = {(x,y) Є IN. x IN
EXERCITANDO: SENDO R UMA RELAÇÃO POR R = {(x,y) Є IN* x IN* | 2x + y = 10}, DETERMINE: a) R b) D(R) c)Im(R) d) gráfico de R X Y = 10 – 2X Y R = {(1;8),(2;6),(3;4),(4;2)} D(R) = {1; 2; 3; 4} Im(R) = {2; 4; 6; 8} Y = 10 – Y = 10 – Y = 10 – Y = 10 – Y = não pertence a IN*

8 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
EIXO Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 EIXO X

9 FUNÇÃO - CONCEITO Dados conjuntos A e B, não vazios, dizemos que a relação f de A em B é função se, e somente se, para qualquer x pertencente ao conjunto A existe, em correspondência, um único (ЭI) y pertence a B tal que o par ordenado (x,y) pertença a f. F é função de A em B <=>V x Є A, Э| Y Є B| (x; y) Є f

10 VEJAMOS ALGUNS EXEMPLOS DE FUNÇÃO
1. 2. 3. 2. 3. 4. F1 é função porque todos os elementos de A têm um único correspondente em B 5. 6. 7. 1. 2. 3. 4. F2 não é função porque 4ЄA, e não têm correspondente em B. 4. 3. 1. 2. 3. F3 não é função porque 4ЄA e tem Dois correspondentes em B

11 NOTAÇÃO E VALOR NUMÉRICO
Podemos escrever uma função f: A B através de suas variáveis X( independente) e Y(dependente). Exemplos: Y = 3x² + 4x ou f(x) = 3x² + 4x Y = 2x ou f(x) = 2x VALOR NUMÉRICO DE UMA FUNÇÃO Chamamos de valor numérico de uma função o valor Que a variável y = f(x) assume quando atribuímos a a x um determinado valor. Vejamos: F(x) = 3x² + 4x + 6, então f(2) = 3.2² , f(2) =26

12 DOMÍNIO, IMÁGEM E CONTRADOMÍNIO
SEJA A FUNÇÃO F: A B B R= {(-2;-1),(-1;0),(0;1),(1;2)} Df = {-2 ; -1; 0; 1} Imf = {-1 ;0; 1 ;2} CDf = B ={-2; -1; 0; 1; 2; 3 } .-2 .-1 .0 .1 .2 .3 A -2. -1. 0. 1. Observação: decorre da definição que Im(f) está contido No CD(f), Ou Im(f) está contido em B

13 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Para esboçar o gráfico de uma função no plano Cartesiano, devemos atribuir valores a x, determinando os respectivos valores numéricos de Y. Vejamos o exemplo de f: E F, definida por Y = 2x, sendo E ={0; 1; 2}e F ={-4; -2; 0; 2; 4; } x y = 2x y y = 2.(-2) y = 2.(-1) y = y = y =

14 Y 4 3 2 1 X -1 -2 -3 -4

15 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1- SENDO R UMA RELAÇÃO POR R= {(x,y) Є IN* x IN* | X + 4 = Y}, DETERMINE: R b)D(R) c)Im(R) d) Cd(R) e) Gráfico de R 2- SE Y = X + 1, e X < 6 / X Є IN*, CONSTRUA O GRÁFICO DE R, IDENTIFICANDO SEU CAMPO DE ATUAÇÃO, BEM COMO SEU DOMÍNIO, CONTRA DOMÍNIO, IMÁGEM DE R. OBS: OS EXERCÍCIOS DEVEM SER APRESENTADOS AO PROFESSOR EM ESTRUTURA DIGITAL, PARA QUE POSSAM SER VISUALIZADOS E DISCUTIDOS POR TODA A EQUIPE.

16 RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃOATRAVÉS DO GRÁFICO
ANALIZANDO UM GRÁFICO DE UMA RELAÇÃO, PODEMOS IDENTIFICAR SE ESTÁ É UMA FUNÇÃO OU NÃO. PARA TAL É SÓ TRAÇAR PERPENDICULARES AO EIXO X POR VALORES PERTENCENTES AO DOMÍNIO, SE TODAS AS PERPENDICULARES INTERCEPTAREM O GRÁFICO EM APENAS UM PONTO, ENTÃO ESSA RELAÇÃO REPRESENTA POR ESSE GRÁFICO UMA FUNÇÃO. OBSERVE: ESSE GRÁFICO REPRESENTA UMA FUNÇÃO, POIS TODAS AS PERPENDICULARES AO EIXO X INTERCEPTAM O GRÁFICO EM APENAS UM SÓ PONTO.

17 Y X ESSE GRÁFICO NÃO REPRESENTA UMA FUNÇÃO, POIS CADA PERPENDICULAR INTERCEPTA-O EM DOIS PONTOS DISTINTOS.

18 FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE
UMA FUNÇÃO Y = f(X), DE A EM B, É CRESCENTE NUM INTERVALO [a, b] С A SE, SOMENTE SE, PARA QUAISQUER X2 E X1 PERTENCENTE AO INTERVALO [a, b] TEMOS: y x2 > x1 => f(x2) > f(x1) y2 y1 x x1 x2

19 UMA FUNÇÃO Y = f(X), DE A EM B, É DECRESCENTE
NUM INTERVALO [a, b] С A SE, SOMENTE SE, PARA QUAISQUERX2 E X1 PERTENCENTE AO INTERVALO [a, b] TEMOS: x2 > x1 => f(x2) < f(x1) y1 y2 x1 x2 x

20 NA FUNÇÃO REAL F(x) REPRESENTADA NO GÁFICO
A SEGUIR, VEJA QUE F(x) É DECRESCENTE NO INTERVALO (- , 0] É CRESCENTE NO INTERVALO [0, + ). 8 8 y x -1

21 1- Função composta DADOS OS CONJUNTOS A = {-1, 0 , 1}, B = {2, 3, 4} E
C = {4, 9, 16} E AS FUNÇÕES f: A B, DEFINIDA POR F(x) = X + 3 , g: B C, DEFINIDA POR G(x) = X2, SE SE CONSIDERARMOS UMA FUNÇÃO h: A C, COMPOSTA DE g e f, É POSSÍVEL CADA ELEMENTO DE A DIRETAMENTE A C, COMO VEREMOS NA REPRESENTAÇÃO DO DIAGRAMA A SEGUIR. B .2 .3 .4 C A . 4 . 9 .16 .-1 . 0 . 1

22 B f(-1) = 2 g(x) = x² g(2) = 22 g(2) = 4 f(x) = x + 3 f(1-)= f(-1) = 2 C A g(2) = 4 -1. h (-1) h(-1) = g[f(-1)] = g(2) = 4

23 FORMA GENERICA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
B f(x) A C .X g(f(x)) h(x) h(x) = g(f(x)) = ( g o f)(x) Tal notação representada acima, é válida para todo x Є A, Sendo que h(x) representa a função g composta com f.

24 1- Dadas as funções f(x) = 2x – 3 e g(x) = x – 1, calcule:
EXEMPLIFICANDO 1- Dadas as funções f(x) = 2x – 3 e g(x) = x – 1, calcule: (f o g)(x) b) g(f(x)) c) (f o g)(1) a) (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x – 1) = 2(x – 1) – 3 = 2x – 2 – 3 = 2x – 5 g(f(x)) = g(2x – 3) = 2x – 3 – 1 = 2x – 4 (f o g)(1) = – 5 = 2 – 5 = - 3 2-Dadas s funções reais f(x) = 3x + a e g(x) = 2x – 5, Calcule a de modo que f(g(x)) = g(f(x)). F(g(x)) = 3(2x – 5) + a + 6x – 15 + a g(f(x)) + 2(3x + a) – 5 = 6x + 2a – 5 Igualando 6x –15 + a = 6x + 2a – 5 => a – 15 = 2a – 5 => a = - 10

25 3- Sendo f(x) = 3x + 1 e f(g(x)) = 6x – 2, determine g(x)
Solução: Sendo f(x) = 3x + 1, então: f(g(x)) = 3g(x) + 1 onde f(g(x)) = 6x – 2, sendo 6x – 2 = 3g(x) + 1 => 6x – 3 = 3g(x) => 2x – 1 EXERCÍCIOS 1 - Sendo f(x) = x – 3 e g(x) = x- 1, determine: a) f(f(0)) b) g(g(2)) c) f(f(1)) + g(f(3)) 2- Considere f(x) = x³ e g(x) = x – 1. Calcule: a) f(f(x)) b) g(f(x)) c) f(g(-1)) 3- Dadas as funções f(x) + x² - 3x +1 e g(x) = x – 1, resolva a Inequação (g o f)(x) > 0. 4- Sendo f(x) = x + a e g(x) = 3x – 1, determine a, de modo que (f o g)(x) = (g of)(x) 5- Dadas as funções f(x) = x² - x + 1 e g(x) = x + 1, calcule: a) (f o g)(x) b) (g o f)(x) c) f(g(1)) g(f(-2))

26 2-Função par Uma função f: A B é par se, para qualquer x Є A,
F(x) = f(-x). F(x) = x² - 1 F(-x) = (-x)² -1 = f(-x) = x² - 1, logo f(x) = f(-x), veja o gráfico. y 4 3 2 1 x -1

27 3 - Função ímpar Uma função f: A B, se somente se f(x) = -f(x), para x Є A, para a função f:IR IR, y = x f(x) = x f(-x) = -x f(-x) = -f(x) => f é ímpar -f(x) = -x y 3 2 1 -1 -2 -3 x O gráfico de uma função Ímpar é simétrico em relação à origem (0,0).

28 4- função injetora Uma função f: A B é injetora se, somente se, dois elementos distintos quaisquer do domínio de f possuem imagens distintas em B. V x1 Є A e V x2 Є A, x1 ≠ x2 <=> f(x1) ≠ f(x2) A B 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. f é injetora, porque cada domínio distinto em A, apresenta sua imagem distinta em B

29 5- função sobrejetora Uma função f: A B é sobrejetora se, somente se, o seu conjunto de imagem for igual ao contradomínio. Im(f) = B A B Im = B = {1, 2, 3}. Logo f é sobrejetora 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. Im ={ 1, 2, 3} Cd ={1, 2, 3, 4}, onde Im ≠ B Logo g não é sobrejetora. A B 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4.

30 6 - Função bijetora Uma função de f; A B é bijetora se, somente se, é injetora e sobrejetora simultaneamente. 1. 2. 3. 1. 4. 9. f é injetora, onde cada domínio em A apresenta uma imagem distinta em B. f é sobrejetora, onde Im = B = {1, 4, 9}. f é bijetora porque é injetora e sobrejetora.

31 7- Função inversa Sendo f: A B, uma função bijetora, dizemos que f-1: B A é função inversa se, somente se, para todo (x, y) Є f, (y, x) Є f-1. EXEMPLIFICANDO Consideremos uma função f de A em B, onde A= {-1, 3, 7, 11 } e B= {0, 4, 8, 12}, representada pelos diagramas. A função g de B em A é a função inversa (f-1(x)) de f. A B D(f) = A Im(f) = B f(x) -1 3 7 11 4 8 12 B A D(x) = B Im(x) = A -1 3 7 11 4 8 12 g(x) = f-1(x) D(f) = Im(f) e Im(f) = D(f-1)

32 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO INVERSA
Os gráficos de uma função inversa são simétricos em relação a Bissetriz dos quadrantes ímpares( 1º e 3º) do plano cartesiano. f(x) = 2x –1 y 3 2 1 -1 -2 β f--1(x) = x + 1 2 α x B13 eixo de simetria de f(x) e f—1(x) ângulo α = ângulo β

33 JUSTIFICANDO A INVERSA DO GRÁFICO ANTERIOR
VAMOS CALCULAR A INVERSA DA FUNÇÃO Y = 2X – 1 Trocando x por y e y por x, observamos que: x = 2y – => y = x => y = x +1 2 onde a inversa de y = 2x –1 é y = x +1 EXERCITANDO 1- Dada a função real f(x) = 3 + 2x, calcule o que se pede: f-1(x) b) D(f) c) Im(f) d) D(f-1) e) Im(f-1) 2- Dada a função f(x) = x , determine f-1(x). x + 2 3- Obtenha o domínio e a imagem da função real f(x)= x + 1 2x – 3 4- Dada a função real definida por f(x) = x² + 4, calcule f-1(x).

34 8-Função constante: Uma função f de A em B é
FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1º GRAU ( grupo CILA) 8-Função constante: Uma função f de A em B é Constante se cada elemento X Є A, tem uma única associação A um elemento C Є B. F(x) = C ou Y = C EX: f(x) = -2 ; f(x) = 0 ; f(x) = 5 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE C < b) C = c) C > 0 y y y C > 0 2 C = 0 x x x C < 0 -2

35 9- Função identidade : Uma função é considerada
identidade, se cada X Є A, apresenta imagem X Є B. Onde f(x) = x. Ex: f(x) = x ; f(a) = a ; f(3) = 3 ; f(k) = K O gráfico representado por está função é a chamada B13, ou Seja, a bissetriz do 1º e 3º quadrante. Assim temos : f(x) = x f(-3) = -3 f(-2) = -2 f(-1) = -1 f (0) = 0 f (1) = 1 f (2) = 2 f (3) = 3 3 2 1 -1 -2 -3 f(x) = x

36 10 - Função liner : Uma função é linear, quando para
qualquer X Є A, existe um coeficiente angular a, Assim sendo, X Є A, Y Є B / y = ax, sendo f(x) = ax. Importante exprimir que o coeficiente angular (a), que é a inclinação da reta, quando a > 0, temos que a função é crescente, para a < 0, a função é decrescente e, quando a adquire valor nulo, a função é nula. Veja os exemplos: a) f(x) = -2x b) f(x) = 0x c) f(x) = 3x A E 3 2 1 y y y -1 -2 -3 1 2 x x 1 2 x

37 11- FUNÇÃO AFIM: Também chamada de função polinomial do 1º grau
11- FUNÇÃO AFIM: Também chamada de função polinomial do 1º grau. Caracteriza se a cada X Є A se associa o elemento (ax + b) Є IR, com a Є IR* e b Є IR. F: A B, definida por f(x) = ax + b ou y = ax + b . F(x) = ax + b Coeficiente linear Coeficiente angular b = indica a ordenada onde a reta intercepta o eixo oy. a = indica a inclinação da reta em relação ao eixo ox. Zeros da função: Posição em que a reta intercepta o eixo ox, é indicada pela fórmula: ax + b = 0 => ax = - b => x = -b/a Sinal da função Afim: Para verificar o sinal da função afim, Em primeiro plano é necessário a construção de seu gráfico correspondente, a seguir observar, e determinar sua variação de sinal. Observe o exemplo.

38 Exemplificando Dada a função f(x) = 3x + 2, indique:
a) coeficiente linear b) coeficiente angular c) zero da função d) esboço do gráfico e) sinal da função Coeficiente linear b = 2 Coeficiente angular a = 3; a > 0 , logo f(x) é crescente. 3x + 2 = 0 => 3x = - 2 => x = - 2/3 zero da função, x = - b/a y d) 2 1 Para x > -2/3, f(x) é positiva, ou seja, f(x) > 0. x -2/3 Para x < -2/3 f(x) é negativa, ou seja f(x) < 0. Para x = -2/3 f(x) é nula, ou seja f(x) = 0.

39 12- Função quadrática CONCEITO : Uma função f de IR em IR é considerada como quadrática ou do segundo grau quando, a cada x Є IR, se associa ao elemento ( ax² + bx +c) Є IR com a Є IR*, b Є IR e c Є IR: f(x) = ax² + bx + c Influência do coeficiente a : Se a > 0, CVC, se a < 0, CVB. Zeros da função : x1 = -b + √Δ x2 = - b - √Δ 2a 2a Δ = b² - 4ac Coordenadas do Vértice : V ( - b/2a ; -Δ/4a) Análise do coeficiente c : Ponto de intersecção com a ordenada Y = ax² + bx +c => y = a(0)² + b(0) + c => y = c Condição para o delta : Δ < 0, não existe raízes reais Δ = 0, duas raízes reais iguais Δ > 0, duas raízes reais distintas

40 Crescimento e decrescimento
O ponto limite entre o crescimento e o decrescimento de uma função quadrática é obtido projetando-se ortogonalmente a abscissa do vértice no eixo x. a função é crescente no intervalo [ xv , + ∞) A > a função é decrescente no intervalo ( - ∞ , xv] a função é crescente no intervalo ( - ∞ , xv] A < a função é decrescente no intervalo [ xv , + ∞) Valor mínimo ou valor máximo de uma função quadrática Eixo de simetria y Quando a > 0, o valor mínimo da função é yv = -Δ/4a. neste caso Im(f) = [ yv , + ∞) ={y Є IR | y ≥ yv} f(x) f(x) xv x yv v

41 Quando a < 0, o valor máximo da função é yv = -Δ/4a. Nesse caso,
Im(f) = ( - ∞ , yv] = {y Є IR | y ≤ yv}. x1 Eixo de simetria x xv Sinal da função quadrática y y a > 0 Δ = 0 a > 0 Δ > 0 + + + + x1 _ x2 x x1 = x2 x x = x1 = x2 => f(x) = 0 x ≠ x1 = x2 => f(x) > 0 x = x1 ou x = x2 => f(x) = 0 x < x1 ou x > x2 => f(x) > 0 x1 < x < x2 => f(x) < 0

42 + a > 0 Δ < 0 a < 0 Δ > 0 _ _ x x = x1 ou x = x2 => f(x) = 0 x < x1 ou x > x2 => f(x) < 0 x1 < x < x2 => f(x) > 0 x A X Є IR => f(x) > 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ x1 = x2 _ _ x a < 0 Δ < 0 x a < 0 Δ = 0 A X Є IR => f(x) < 0 x = x1 = x2 => f(x) = 0 x ≠ x1 = x2 => f(x) < 0

43 13 Função definida por várias sentenças
Uma função real f(x), poderá ser definida por duas ou mais sentenças, determinando a função de várias condições. 2x, se x ≥ 0 x + 1, se x < 0 f(x) y Observe a representação gráfica x lei y 4 3 2 1 -1 x

44 14 – Função modular Uma função é considerada modular, se cada x se associa a | x |. Portanto f(x) = | x |. f(-2) = |-2| = 2 f(-1) = |-1| = 1 f( 0) = | 0 | = 0 f( 1) = | 1 | = 1 f( 2) = | 2 | = 2 y 2 1 x Outra função modular que apresenta uma condição em relação a posição de intersecção entre as semi retas. Veja o exemplo : Y = |x – 1 | x – 1 , para x – 1 ≥ 0 => x ≥ 1 -(x – 1), para x – 1 < 0 => x < 1 y x y = x – x y = -x + 1 3 2 2 1 x

45 15 – Função exponencial Uma função f: IR→ IR*+ Dada por f(x) = ax, a
constante positiva e diferente de 1, denomina-se função exponencial (a Є IR, a > 0 e a ≠ 1). f(x) = ax Vamos ver exemplos de funções exponenciais: f(x) = 3x f(x) = 5x – 1 f(x) = (1/3)x f(x) = (√2)x f(x) = (0,3)x 1 - Na função f(x) = 2x, com f: IR em IR*+. 8 7 6 5 4 3 2 1 X Y ¼ ½

46 f(x) = (1/2)x ,com f: IR em IR*+.
y X Y ½ ¼ /2 8 7 6 5 4 3 2 1 x Obs: A função exponencial será crescente quando a base for maior que 1, e decrescente se a for positiva e menor que 1. a > 1, f(x) crescente < a < 1, f(x) é decrescente

47 Considerações importantes
Uma função exponencial não intercepta o eixo ox, pois para A Є IR*+, ax ≠ 0, para qualquer A Є IR. Todo gráfico de uma função f(x) = ax (a Є IR*+ ax ≠ 1) intercepta o eixo oy no ponto (0 , 1) o domínio da função exponencial é D = IR, e o seu contradomínio é CD = IR*+ . Observamos que, como a > 0 e a ≠ 0, as imagens ax serão sempre positivas. Assim, teremos: D = IR Im = IR*+ Outra consideração final de f(x) = ax é ser bijetora, pois f é sobrejetora (CD = Im = IR*+) e injetora ( x1 e x 2 <=> ax1 ≠ ax2)

48 16 – Função logarítmica Uma função f: IR* IR dada por f(x) = log a x, a constante positivo e diferente de 1, denomina-se função logarítmica. F(x) = log a x (0 < a ≠ 1) D = IR*+ e CD = IR Observe o gráfico da função f(x) = log 2 x : x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 y -3 -2 -1 3 y 3 2 1 -1 -2 -3 * * * * 1/8 1/4 1/ * x * *

49 Veja o gráfico da função f(x) : IR*+ em IR, definida por log ½ x :
1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 y 3 -1 -2 -3 y 3 2 1 -1 -2 -3 * * * * 1/8 1/4 1/ x * * *

50 O gráfico da função f(x) = log a x depende do valor de a.
Para a > 1, f será crescente; para 0 < a < 1, f será decrescente y y a > 1 crescente 0 < a < 1 decrescente x x Todo gráfico da função f(x) = log a x ( 0 < a ≠ 1) intercepta o eixo ox no ponto (1; 0) e não intercepta o eixo oy. Verificamos portanto que a imagem em todos os casos é: Im = IR Um das observações interessante é que essa função admite a inversa, que é a função exponencial, estudada anteriormente. Logo: log a x = y <=> ay = x, observe o esboço gráfico no próximo slide. Fique atento.

51 Dada a função Y = log x ( x² + 5x – 6 ): com base: x > 0 e x ≠ 1
f – 1 (x) = ax y y 0 < a < 1 a > 0 f – 1 (x) = ax f(x) =log a x 1 1 x x f(x) =log a x Exemplificando: Dada a função Y = log x ( x² + 5x – 6 ): com base: x > 0 e x ≠ 1 logarítmando : x² + 5x – 6 > 0 Δ = ==> Δ = 49 -5 ± 7 x1 = -5 X = x2 = 1 _ + + D = { x ε IR| x > 1}

52 17 - Função seno A função seno é uma função de IR em IR que a todo arco AP de medida x ε IR associa a ordenada yp do ponto P. O domínio da função seno é D = IR e a imagem é Im = [ -1;1]. f(x) = sen x y = sen x Π 2 Sen α = 0yp yp P(xp ; yp) x α Π Π x 3Π 2

53 GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO P = 2Π X Π/4 Π/2 3Π/4 Π 5Π/4 3Π/2 7Π/4 2Π SEN X
Π/4 Π/2 3Π/4 Π 5Π/4 3Π/2 7Π/4 2Π SEN X √2/2 1 -√2/2 -1 y 1 Π/2 Π 3Π/2 2Π x -1 P = 2Π

54 A função seno é periódica, ou seja, existe uma constante real
p tal que: f(x) = f( x + p) O menor valor positivo de p que satisfaz essa igualdade é chamada período. Para f(x) = sen x, o período é 2Π, de modo geral, para funções do tipo f(x) = sen ax, o período é obtido dividindo-se 2Π por |a|: Período = 2Π |a| Principais características da função seno: Domínio D = IR Imagem Im = [ -1; 1] Quadrante º º º º Sinal Período p = 2Π Paridade Função Ímpar (sen (-x) = - sen x)

55 18 - Função cosseno A função cosseno é uma função de IR em IR que a todo arco AP de medida x ε IR associa a abscissa Xp do ponto P. O domínio da função seno é D = IR e a imagem é Im = [ -1;1]. f(x) = cos x Π 2 Cos α = 0xp P(xp ; yp) x α y = cos x xp Π Π 3Π 2

56 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO
X Π/4 Π/2 3Π/4 Π 5Π/4 3Π/2 7Π/4 2Π COS X 1 √2/2 -√2/2 - 1 y 1 Π/2 Π 3Π/2 2Π x -1 P = 2Π

57 características da função cosseno
A função cosseno é periódica, ou seja, existe uma constante real p tal que: f(x) = f( x + p) O menor valor positivo de p que satisfaz essa igualdade é chamada período. Para f(x) = cos x, o período é 2Π, de modo geral, para funções do tipo f(x) = cos ax, o período é obtido dividindo-se 2Π por |a|: Período = 2Π |a| Principais características da função cosseno: Domínio IR Imagem Im = [ -1; 1] Quadrante º º º º Sinal Período p = 2Π Paridade Função par (cos (-x) = cos x)

58 19- Função Tangente Obs: Entre as funções trigonométricas, a função tangente tem um enfoque mais acentuado em relação ao estudo das derivadas estudas no próximo módulo. Desta forma, caros investigadores, tenham muita atenção e dedicação em todos os detalhes apresentados no estudo desta função trigonométrica. VAMOS CONHECE-LA ! Função tangente é uma função de {X Ε IR | X ≠ Π / 2 + k Π, k ε /Z} em IR que a todo arco AP de medida x associa a ordenada Yt do ponto T. O ponto T é a intersecção da reta OP com o eixo das tangentes. O domínio da função tangente é D = { X Ε IR | X ≠ Π / 2 + k Π, k ε /Z } e a imagem é Im = IR. F(x) = tg x

59 Conhecendo a reta tangente
y Tag a = AT T(1 ; yt) P x a x A eixo das tangentes

60 Características da função tangente
Principais características da função tangente: Domínio { X Ε IR | X ≠ Π / 2 + k Π, k ε /Z } Imagem Im = [ IR] Quadrante º º º º Sinal Período p = Π Paridade Função Ímpar (tag (-x) = -tag x) Tag é positiva nos 1º e 3º quadrantes _ + _ + Tag é negativa nos 2º e 4º quadrantes

61 Gráfico da função tangente
X Π/4 Π/2 3Π/4 Π 5Π/4 3Π/2 7Π/4 2Π TagX 1 -1 E E y x Π Π Π Π Π 2p = Π

62 20 - Função Cotangente A função cotangente é condicionada pelo quociente entre o cos x e o sen x. Assim temos: cos x sen x F(x) = cotag x = sen x ≠ 0 y (xt ; 1) T p eixo das cotangentes x x

63 Gráfico da função cotangente
X Π/4 Π/2 3Π/4 Π 5Π/4 3Π/2 7Π/4 2Π Cotg X 1 -1 E E E y x Π Π Π Π Π p = Π

64 Características da função cotangente
Principais características da função cotangente: Domínio { X Ε IR | X ≠ k Π, k ε /Z } Imagem Im = [ IR] Quadrante º º º º Sinal Período p = Π

65 21 – Função secante Denomina-se função secante a função definida por pela lei: 1__ cos x F(x) = sec x = cos x ≠ 0 y P S(xs;0) x Eixo das secantes

66 Gráfico da função secante
1 -Π/ Π/ Π Π/ Π -1 P =2Π

67 Características da função secante
Principais características da função secante: Domínio { X Ε IR | X ≠ Π/2 + kΠ, k ε /Z } Imagem { Y Ε IR | y ≤ -1 ou y ≥1 } Quadrante º º º º Sinal Período p = 2Π

68 22 – Função cossecante Denomina-se função cossecante, toda função do tipo: 1__ Sen x F(x) = cossec x = Sen x ≠ 0 y R(0 ; xr) Eixo das cossecantes P x x

69 Gráfico da função cossecante
1 -Π/ Π/ Π Π/ Π -1 P =2Π

70 Características da Função Cossecante
Principais características da função cossecante: Domínio { X ε IR | X ≠ kΠ, k ε /Z } Imagem { Y ε IR | y ≤ -1 ou y ≥ 1} Quadrante º º º º Sinal Período p = 2Π

71 23 – Função Racional x 2,5 3 3,5 4 2 1 0,67 0,50 P(x)_
Q(x) Função racional é representada por: , em que P e q são polinômios. Sendo o domínio representado pelo Conjunto D = {x ε IR | Q(x) ≠ 0 }. F(x) = Vejamos um exemplo clássico desta função. Y = 1___ com x > 0 x - 2 x 2,5 3 3,5 4 Y = __1___ x - 2 2 1 0,67 0,50

72 Gráfico da função racional
y 2 1 0,67 0,50 , , x

73 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
LIMITE DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO LIMITES FINITOS No estudo de limites finitos, iremos direcionar nossa atenção para o comportamento de y na função F(x) = y quando o domínio x aproxima de um ponto p. Vamos representar o estudo de limites finitos da seguinte forma : Lim f(x) = L x p O limite de f(x), quando x tende ao ponto p, é igual a L . Ao conhecermos melhor a influencia do limite em cada função estudada anteriormente, compreenderemos as várias condições desta função em seus aspectos pontuais ou imaginários

74 Aplicando o conceito intuitivo de limite
Vamos verificar como comporta os valores da função y = 4x – 3 Quando x se aproxima do ponto p = 2. Lim 4x - 3 = ? X 2 Relembrando o valor numérico de y, podemos aplica-lo de forma a obter o limite de y = 4x - 3 quando x tende a 2. Lim 4x - 3 = ? => => 8 – 3 => 5 X 2 Lim 4x - 3 = 5 X 2 O limite da função y = 4x – 3, Quando x aproxima-se do ponto p = 2, é igual a 5 . Observou como é fácil o cálculo do limite em uma função, então estude e pratique o máximo. Ok!

75 LIMITES LATERAIS O estudo de limites laterais, nos possibilita a conhecer o comportamento de uma função quando a variável x aproxima-se do ponto p pela direita, e pela esquerda. Desta forma, é necessário a construção de uma tabela que possibilite conhecer o comportamento desta função a medida que a variável x aproxima-se do ponto p. Vamos verificar como comportam os valores da função f(x) = x2 – 9 quando x aproxima-se de 3 . x - 3 Um dos métodos que facilita os cálculos, é fatorar o numerador, simplificando-o com o denominador, veja : f(x) = x2 – 9 => (x + 3)(x – 3) => f(x) = x + 3 => Lim x + 3 = 6 x (x – 3) x

76 Definição de limites laterais
Limite a esquerda: Se f(x) tende para L ( finito ou não) quando x tende a p por valores inferiores a p, dizemos que L é o limite a esquerda de f(x) para x tendendo a p e indicamos: Lim f(x) = L x p- Limite a direita : Se f(x) tende para L’ ( finito ou não) quando x tende a p por valores superiores a p, dizemos que L’ é o limite a direita de f(x) para x tendendo a p e indicamos: Lim f(x) = L’ x p+ Lim f(x) = L x p- E Lim f(x) <=> x p <=> L = L’ Lim f(x) = L’ x p+

77 Construção da tabela da aproximação
Aprox. pela esquerda Aprox. pela direita x f(x) = x2 – 9 x - 3 (x) = x2 – 9 2 5 4 7 2,9 5,9 3,1 6,9 2,99 5,99 3,01 6,01 2,999 5,999 3,001 6,001 Veja, quando x aproxima-se de 3, a função aproxima-se de 6 tanto pela esquerda como pela direita . Verificamos Que está função é contínua no ponto para x = 3.

78 Limites infinitos Pode ocorrer que, à medida que x aproxima de p, os valores de y = f(x) tornem-se números muito grandes, influenciados pelo pelos sinais (+) ou ( - ). Nesse caso se o número que cresce indefinidamente à medida que x se aproxima de p é positivo, descrevemos esse comporta- mento dizendo que o limite calculado é + ∞ (mais infinito). Caso o número seja negativo, dizemos que o limite é - ∞ ( menos infinito). Veja o exemplo: Lim x À medida que x aproxima de zero : x x x aproxima-se de 5; . x2 aproxima-se de zero.

79 Observações dos limites laterais
Pode ocorrer que as tabelas de valores, vista no item anterior, tenham à esquerda e a direita, valores distintos. Nesse caso, os limites laterais existem, mas o limite no ponto não existe. Pode ocorrer também, que a função nem possa ser calculada em um dos lados do ponto. O limite nesse caso não existe. O que existe é o limite lateral que pode ser calculado. Veja por exemplo : lim √x x 0 O limite à direita é L = 0. O limite à esquerda não pode ser obtido. Portanto, o limite proposto não existe. lim √x , não existe x 0

80 Demonstração A fração caminha para uma expressão do tipo 5 / 0, e não pode ser intuitivamente determinada. Veja a tabela: x f(x) = x x2 -1 4 1 6 -0,1 490 0,1 510 -0,01 49.900 0,01 50.100 -0,001 0,001 + ∞ Quando x se aproxima de zero tanto pela esquerda quanto pela direita, os valores da função tendem a + ∞. Lim x = + ∞. x x2

81 Definição de limite nos casos em que comparecem os elementos + ∞ ou - ∞ .
Dizemos que x tende a + ∞ ou a - ∞, se x assume valores infinitamente grandes ou infinitamente pequenos. Desta forma verificamos qual é o comportamento da função, dependendo de Sua constante k. K > 0 Lim x x + ∞. Lim 2x = + ∞. x ∞ Lim 2x = - ∞. x ∞ Lim x x + ∞. Lim - 3x = - ∞. x ∞ Lim - 3 x = + ∞. x ∞ K < 0 Lim 1 / x x + ∞. Lim 1/ x = 0. x ∞ Lim 1/ x = 0. x ∞ 1/ K

82 Lim xy x + ∞. Lim x par ou ímpar = + ∞ x ∞ Ky Lim x par = + ∞ . x ∞ Lim xy x ∞. Lim x ímpar = - ∞ . x ∞ Lim - x2 = - ∞ . x ∞ - K2 Lim - x2 = - ∞ . x ∞

83 Exercícios 1-Resolva as questões usando o conceito intuitivo de Limite: a) Lim (3x – 2) l) Lim (tag x) x x b) Lim (x – 2) m) Lim (cotg x) x x c) Lim (-2x – 3) n) Lim (x2 + 5x – 6) x x d) Lim (x2 + 4) o) Lim (x2 – 10) x / x /3 e) Lim (5x2 – 2x + 7) p) Lim x x √ x x f) Lim (sen x) q) Lim 2x x x g) Lim (log x) r) Lim (3x) x x h) Lim ( |x| ) t) Lim ( 2x – 6) x x i) Lim (cos x) u) Lim (cossec x) x x j) Lim (sec x) v) Lim (x2 – x) x x

84 2- Calcular os limites das funções com o auxílio de uma tabela de valores á esquerda e à direita do ponto indicado. a) Lim x2 – b) Lim x2 – 4 x x x x - 2 c) Lim x2 + 4x d) Lim x2 - 7x + 10 x x x x - 5 e) Lim x3 - 6x2 + 10x e) Lim x x x x x2 – 5x + 6 f) Lim 2x g) Lim x2 x ∞ x ∞ h) Lim 2x3 + 3x2 – i) Lim x3 + 2x2 – 7 x ∞ x ∞

85 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO, Y = f(x)
NO INTERVALO [ a, b ]. Suponhamos que a função y = f(x) seja definida no intervalo [a ;b]. Quando a variável x passa do valor a para o valor b variando ∆x = b - a, os valores da função y = f(x) passam de y = f(a) – f(b). A divisão da variação ∆y de y pela variação de ∆x de x é a taxa de variação dessa função no intervalo [a;b]. Indicada por: TMV = ∆y ∆x A taxa de variação média indica o que ocorre em média com função nesses intervalo. Se a taxa for positiva, indica crescimento médio; se a taxa média for negativa, indica decrescimento médio. VER PROXIMOS SLIDES