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Descrição Matemática de Sistemas (C. T. Chen, Capítulo 2) Sistemas Lineares.

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1 Descrição Matemática de Sistemas (C. T. Chen, Capítulo 2) Sistemas Lineares

2 Supõe-se que a resposta a uma dada entrada é única. Esta relação única entre entrada e saída, excitação e resposta, causa e efeito, é essencial.

3 Descrição matemática de sistemas

4 Até que tempo passado a entrada passada afetará a saída atual? Geralmente, é até -. Seguir as entradas desde - até o tempo atual, se não impossível, é muito inconveniente. O conceito de estado permite lidar com este problema.

5 Definição de estado

6 Descrição matemática de sistemas

7

8 Um sistema é agrupado (concentrado) (lumped) se o número de variáveis de estado é finito. Um sistema é distribuído se seu estado tem infinitas variáveis.

9 Sistemas lineares

10 Combinando as propriedades anteriores, obtém-se a propriedade de superposição

11 Sistemas lineares A saída é chamada de resposta à entrada zero quando A saída é chamada de resposta ao estado zero quando Resposta = resposta à entrada zero + resposta ao estado zero (Devido à propriedade da aditividade) (Note-se que isto não ocorre para sistemas não lineares)

12 Sistemas lineares Descrição entrada-saída. Desenvolve-se uma equação matemática para descrever a resposta ao estado zero de sistemas lineares (implicitamente, o estado inicial e assumido como zero). Considere-se o seguinte sinal pulso.

13 Sistemas lineares

14 Depois

15 Sistemas lineares Quando delta aproxima-se de zero, obtém-se

16 Caso multivariável

17 Descrição no espaço de estados Todo sistema linear agrupado pode ser descrito por um conjunto de equações da forma

18 Sistemas LTI Sistema lineares invariantes no tempo (LTI)

19 Sistemas LTI A descrição entrada-saída fica Esta é a chamada integral de convolução, e representa a descrição do sistema LTI no domínio do tempo.

20 Sistemas LTI Função de transferência dos sistemas LTI

21 Sistemas LTI A função de transferência do sistema é a transformada de Laplace da resposta impulsiva (resposta ao impulso). A resposta impulsiva é a transformada inversa de Laplace da função de transferência.

22 Sistemas LTI Para um sistema de p entradas e q saídas

23 Sistemas LTI A função de transferência do sistema de retardo é uma função de transferência irracional porque se trata de um sistema distribuído. Se o sistema LTI é agrupado, então sua função de transferência será uma função racional.

24 Sistemas LTI

25 Toda função de transferência racional pode ser expressa por

26 Sistemas LTI Uma função de transferência racional imprópria amplificará ruídos de alta freqüência. Portanto, esta função de transferência raramente é utilizada em aplicações práticas.

27 Sistemas LTI Definição:

28 Sistemas LTI

29 Equação no espaço de estados Todo sistema linear agrupado invariante no tempo, pode ser descrito por

30 Linearização Muitos sistemas físicos são não lineares e variantes no tempo. Alguns deles podem ser descritos pela equação diferencial não linear Considere-se

31 Linearização Então o sistema pode ser expandido

32 Linearização Omitindo a ordens altas de

33 Exemplo 1 Não lineares, e sem possibilidade de linearizar com erro pequeno.

34 Exemplo 1

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37

38 Exemplo 2

39 Exemplo 3

40

41 Exemplo

42

43

44 Linearização de um sistema de nível

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46 Sistemas de tempo discreto Assume-se que o período de amostragem T é igual para todo sistema de tempo discreto. Muitos conceitos aplicados a sistemas de tempo contínuo se aplicam a sistemas de tempo discreto. Porém, alguns conceitos variam. Por exemplo, em sistemas contínuos um sistema de retardo é distribuído, mas em sistemas discretos o sistema de retardo é agrupado se o retardo é um inteiro múltiplo de T.

47 Sistemas de tempo discreto Descrição entrada saída. Seja a seqüência impulso Seguindo um procedimento similar ao utilizado em sistemas contínuos, obtém-se a descrição entrada saída

48 Sistemas de tempo discreto Seja a transformada Z Depois

49 Sistemas de tempo discreto Exemplo de um sistema de tempo discreto distribuído

50 Sistemas de tempo discreto Uma função de transferência racional discreta pode ser própria ou imprópria. Se é imprópria como Obtém-se um sistema não causal. O resultado é distinto em sistemas de tempo contínuo, onde uma função de transferência racional imprópria pode ser de um sistema causal.

51

52 Sistemas de tempo discreto Equações no espaço de estados

53

54 Exemplo

55 Modelos do exemplo


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