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DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace TRANSFORMADA DE LAPLACE Motivação. Definição: expressão algébrica e região de convergência.

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1 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace TRANSFORMADA DE LAPLACE Motivação. Definição: expressão algébrica e região de convergência. Propriedades da região de convergência. Transformada inversa. Propriedades da transformada de Laplace. Representação de SLITs contínuos usando a transformada de Laplace. Propriedades dos SLITs e sua relação com a região de convergência da função de transferência.

2 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Motivação SLIT convolução produto TL TL -1

3 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Definição Exponencial direitaExponencial direita para

4 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Definição para Exponencial esquerdaExponencial esquerda

5 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Definição

6 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Exemplos Ex. 1Ex. 1 Mapa polos/zeros zero: polos:

7 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Exemplos Ex. 2Ex. 2Tabela Mapa polos/zeros

8 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Exemplos Ex. 3Ex. 3Tabela não tem transformada de Laplace

9 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace P1 A RC é constituída por faixas do plano s paralelas ao eixo imaginário. P2 A RC não contém polos. Propriedades da Região de Convergência (RC) P3 Se for de duração finita e se existir pelo menos um valor de para o qual a transformada de Laplace converge, então a RC é o próprio plano, exceptuando eventualmente as rectas ou.

10 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Propriedades da Região de Convergência (RC) P4 Re(s) Im(s) Se for um sinal direito e se a recta pertencer à RC, então todos os valores de tais que também pertencem à RC. Re(s) Im(s) P5 Se for um sinal esquerdo e se a recta pertencer à RC, então todos os valores de tais que também pertencem à RC.

11 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Propriedades da Região de Convergência (RC) P6 Re(s) Im(s) Se for um sinal bilateral e se a recta pertencer à RC, então a RC é uma faixa do plano que contém a recta.

12 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Transformada de Laplace inversa Funções racionais 1º Expansão em fracções simples de X(s)

13 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Transformada de Laplace inversa Funções racionais 2º Identificação da RC associada a cada uma das fracções 3º Determinação, por simples inspecção, da transformada de Laplace inversa de cada um dos termos transformada de Laplace inversa de cada um dos termos

14 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace P1: Linearidade Se então Propriedades da transformada de Laplace Ex.

15 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Propriedades da transformada de Laplace P2: Translação no Tempo Se então excepto para a possível inclusão/exclusão de Ex.

16 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace P3: Translação no Domínio da Transformada Se então Propriedades da transformada de Laplace Ex.

17 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace P4: Mudança de Escala Propriedades da transformada de Laplace Se então Ex.

18 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Propriedades da transformada de Laplace P5: Convolução Se então Ex.

19 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace P6: Diferenciação no Domínio do Tempo Se então Propriedades da transformada de Laplace Ex. 1 Ex. 2 Tabela:

20 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de LaplaceEx. Propriedades da transformada de Laplace P7: Diferenciação no Domínio da Transformada Se então

21 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace P8: Integração no Domínio do Tempo Se então Propriedades da transformada de Laplace Nota: pela propriedade da convolução Ex.

22 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Diferenciação no domínio da transformada Translação no domínio da transformada Translação no tempo Exemplos Ex. 1 Sabendo que, determine a transformada de Laplace de

23 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Translação no tempo Diferenciação no tempo Exemplos Ex. 2 Sabendo que, determine o sinal.

24 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Propriedades da transformada de Laplace P9: Teorema do Valor Inicial Se para e se não contiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem, o limite de quando por valores positivos é P10: Teorema do Valor Final Se para e se convergir para um valor constante quando, então

25 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Exemplo TVI: TVF:

26 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Resposta Impulsional Função de Transferência Ex. SLIT

27 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace SLITs em série – propriedade da convolução Resposta Impulsional Função de Transferência

28 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Resposta Impulsional Função de Transferência SLITs em paralelo – propriedade da linearidade

29 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Função de Transferência Realimentação Analisar o SLIT no domínio do tempo não é simples; Obter a expressão algébrica da função de transferência entre a entrada e a saída é imediato.

30 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Equação Diferencial Função de Transferência SLIT Linearidade Diferenciação no tempo

31 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Equação Diferencial Função de Transferência SLIT A equação diferencial não dá informação sobre a região de convergência de. É necessário informação adicional, nomeadamente sobre a estabilidade ou causalidade do SLIT, para inferir a região de convergência de. E a região de convergência de ?

32 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Equação Diferencial Função de Transferência Ex. SLIT causal TL SLIT causal

33 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Propriedades dos SLITs SLIT causal: 1. de duração limitada com A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta Ex. 1 sistema causal: sistema não causal:

34 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Propriedades dos SLITs SLIT causal: 1. de duração limitada com A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta Ex. 2 sistema causal: sistema não causal:

35 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Propriedades dos SLITs SLIT causal: 1. de duração limitada com A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta sistema não causal Ex. 3 SLIT

36 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Propriedades dos SLITs SLIT causal: A região de convergência de é a região do plano para a direita de uma recta paralela ao eixo imaginário, incluindo. 2. de duração ilimitada com … Quando é uma função racional e a região de convergência é direita, incluir na região de convergência é equivalente a. Ex. Sistema não causal Sistema causal Sistema não causal

37 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace condição necessária para que o sistema seja estável Propriedades dos SLITs SLIT estável: Para, i.e., quando o SLIT é estável. Para racional, a condição anterior é também condição suficiente desde que, i.e.

38 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace tem 1 zero mas não tem polos sistema instável Propriedades dos SLITs SLIT estável: Ex. SLIT

39 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace Propriedades dos SLITs SLIT estável: Ex. Sistema estável Sistema instável


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