TRANSFORMADA DE LAPLACE

Apresentação em tema: "TRANSFORMADA DE LAPLACE"— Transcrição da apresentação:

1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Motivação. Definição: expressão algébrica e região de convergência. Propriedades da região de convergência. Transformada inversa. Propriedades da transformada de Laplace. Representação de SLITs contínuos usando a transformada de Laplace. Propriedades dos SLITs e sua relação com a região de convergência da função de transferência.

2 Motivação SLIT convolução produto TL TL-1

3 Definição Exponencial direita para

4 Definição Exponencial esquerda para

5 Definição

6 Exemplos Mapa polos/zeros Ex. 1 zero: polos:

7 Tabela Exemplos Ex. 2 Mapa polos/zeros

8 Tabela Exemplos Ex. 3 não tem transformada de Laplace

9 Propriedades da Região de Convergência (RC)
A RC é constituída por faixas do plano s paralelas ao eixo imaginário. P2 A RC não contém polos. P3 Se for de duração finita e se existir pelo menos um valor de para o qual a transformada de Laplace converge, então a RC é o próprio plano , exceptuando eventualmente as rectas ou

10 Propriedades da Região de Convergência (RC)
Re(s) Im(s) Se for um sinal direito e se a recta pertencer à RC, então todos os valores de tais que também pertencem à RC. Re(s) Im(s) P5 Se for um sinal esquerdo e se a recta pertencer à RC, então todos os valores de tais que também pertencem à RC.

11 Propriedades da Região de Convergência (RC)
Re(s) Im(s) Se for um sinal bilateral e se a recta pertencer à RC, então a RC é uma faixa do plano que contém a recta

12 Transformada de Laplace inversa
Funções racionais 1º Expansão em fracções simples de X(s)

13 Transformada de Laplace inversa
Funções racionais 2º Identificação da RC associada a cada uma das fracções 3º Determinação, por simples inspecção, da transformada de Laplace inversa de cada um dos termos

14 Propriedades da transformada de Laplace
P1: Linearidade Se então Ex.

15 Propriedades da transformada de Laplace
P2: Translação no Tempo Se então excepto para a possível inclusão/exclusão de Ex.

16 Propriedades da transformada de Laplace
P3: Translação no Domínio da Transformada Se então Ex.

17 Propriedades da transformada de Laplace
P4: Mudança de Escala Se então Ex.

18 Propriedades da transformada de Laplace
P5: Convolução Se então Ex.

19 Propriedades da transformada de Laplace
P6: Diferenciação no Domínio do Tempo Se então Ex. 1 Ex. 2 Tabela:

20 Propriedades da transformada de Laplace
P7: Diferenciação no Domínio da Transformada Se então Ex.

21 Propriedades da transformada de Laplace
P8: Integração no Domínio do Tempo Se então Nota: pela propriedade da convolução Ex.

22 Exemplos Sabendo que , determine a transformada de Laplace de Ex. 1
Diferenciação no domínio da transformada Translação no domínio da transformada Translação no tempo

23 Exemplos Sabendo que , determine o sinal . Ex. 2
Diferenciação no tempo Ex. 2 Sabendo que , determine o sinal Translação no tempo

24 Propriedades da transformada de Laplace
P9: Teorema do Valor Inicial Se para e se não contiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem , o limite de quando por valores positivos é P10: Teorema do Valor Final Se para e se convergir para um valor constante quando , então

25 TVI: TVF: Exemplo

26 Resposta Impulsional Função de Transferência
Ex. SLIT

27 Resposta Impulsional Função de Transferência
SLITs em série – propriedade da convolução

28 Resposta Impulsional Função de Transferência
SLITs em paralelo – propriedade da linearidade

29 Função de Transferência
Realimentação Analisar o SLIT no domínio do tempo não é simples; Obter a expressão algébrica da função de transferência entre a entrada e a saída é imediato.

30 Equação Diferencial Função de Transferência
SLIT Linearidade Diferenciação no tempo

31 Equação Diferencial Função de Transferência
SLIT E a região de convergência de ? A equação diferencial não dá informação sobre a região de convergência de É necessário informação adicional, nomeadamente sobre a estabilidade ou causalidade do SLIT, para inferir a região de convergência de

32 Equação Diferencial Função de Transferência
Ex. SLIT causal TL SLIT causal

33 Propriedades dos SLITs
SLIT causal: 1. de duração limitada com A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta Ex. 1 sistema causal: sistema não causal:

34 Propriedades dos SLITs
SLIT causal: 1. de duração limitada com A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta Ex. 2 sistema causal: sistema não causal: sistema não causal:

35 Propriedades dos SLITs
SLIT causal: 1. de duração limitada com A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta sistema não causal Ex. 3 SLIT

36 Propriedades dos SLITs
SLIT causal: 2. de duração ilimitada com … A região de convergência de é a região do plano para a direita de uma recta paralela ao eixo imaginário, incluindo Quando é uma função racional e a região de convergência é direita, incluir na região de convergência é equivalente a Ex. Sistema não causal Sistema causal Sistema não causal

37 Propriedades dos SLITs
SLIT estável: Para , i.e., quando o SLIT é estável. condição necessária para que o sistema seja estável Para racional, a condição anterior é também condição suficiente desde que , i.e.

38 Propriedades dos SLITs
SLIT estável: Ex. SLIT sistema instável tem 1 zero mas não tem polos

39 Propriedades dos SLITs
SLIT estável: Ex. Sistema estável Sistema instável Sistema instável