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SINAIS Prof. Marcelo de Oliveira Rosa. Sinais Função carrega informação Função de uma ou mais variáveis que carrega informação sobre um determinado fenômeno.

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1 SINAIS Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2 Sinais Função carrega informação Função de uma ou mais variáveis que carrega informação sobre um determinado fenômeno 1 variável sinal unidimensional n variáveis sinal multidimensional Exemplos: Sinal de voz/fala e sinais biológicos Sinal de vídeo Precificação de ações (séries temporais) Movimentação de máquinas elétricas (vibração)

3 Sinais Quanto à(s) variável(is) independente(s) Contínuo (analógico) Discreto Quanto à amplitude: Contínuo (analógico) Discreto Quanto a aleatoriedade em amplitude: Determinístico Aleatório (Random)

4 Sinais Classificação discretização amplitude variável independente Depende da discretização ou não da amplitude e da variável independente. Geralmente a variável independente será tempo (t) Casos: Amplitude contínua com tempo contínuo Sinal analógico Amplitude contínua com tempo discreto Amplitude discreta com tempo contínuo Amplitude discreta com tempo discreto Sinal digital

5 Sinais Para facilitar Sinais com tempo discreto Seqüência Amplitude contínua com tempo discreto Amplitude discreta com tempo discreto

6 Sinais Notações x(t) Tempo contínuo: x(t) t = tempo (em segundos) (t R) O sinal x(t) é função do tempo x[n] Tempo discreto: x[n] n = instante (adimensional) (n Z) A seqüência x[n] é função do instante não existe Reforçando: não existe n = 1,5, por exemplo.

7 Sinais Pode apresentar descontinuidades!!! A continuidade está ligada a (t R) Existem instante t 0 tal que:

8 Sinais Sinais periódicos e não-periódicos exponenciais complexas Inclui exponenciais complexas

9 Sinais Sinais periódicos e não-periódicos x(t) = x(t + T), para todo t R. T é o período fundamental do sinal (T R + ) f = 1/T freqüência fundamental. Em Hertz ω = 2π/T Em radianos/s

10 Sinais Sinais periódicos e não-periódicos Exemplos: x(t) = cos(300π t + π/3) x(t) = 10 cos(1G π t) Sinais senoidais puros x(t) = A cos(2 π f 0 t + θ) θ fase (em radianos) x(t) = 10 e -10t x(t) = e -1000t cos(3000 π t – π/2) Sinais exponenciais complexos x(t) = A e -σ 0 t [cos(2 π f 0 t) + j sen(2 π f 0 t)] σ 0 constante de amortecimento

11 Sinais Sinais periódicos e não-periódicos Lembre-se: Relação de Euler e ±jωt = cos(ωt) ± j sen(ωt) + cos(ωt) = Re{e ±jωt } ± sen(ωt) = Im{e ±jωt } Relações trigonométricas sen(a ± b) = sen(a) cos(b) ± sen(b) cos(a) cos(a ± b) = cos(a) cos(b) sen(a) sen(b)

12 Sinais Sinais periódicos e não-periódicos Exemplos/Exercícios

13 Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Sinais com descontinuidades Em algum t 0 : Representação de fenômenos como: Chave liga-desliga Sinais discretos/digitais Variações lineares Amostragem de sinais contínuos

14 Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Degrau unitário Degrau unitário: Descontinuidade tem t=zero. consistente Formulação consistente com séries e transformadas de Fourier para representação de chaves liga-desliga.

15 Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades alternativas Representações alternativas do Degrau unitário: Formas ligadas a fenômenos físicos Carecem de rigor formal (teoria de Fourier) Se excitarem um sistema qualquer Produzem mesmo resultado Produzem mesmo resultado!!!

16 Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Degrau unitário Exemplos/Exercícios Demonstre que Degrau unitário formal e suas variações alternativas são equivalentes.

17 Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Sinal unitário Sinal unitário Indica o sinal de t Matematicamente: sgn(t) = 2 u(t) – 1 Admite versão alternativa, como u(t)

18 Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Rampa unitária Rampa unitária Este sinal é definido por:

19 Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário Impulso unitário Representação gráfica Área = 1 δ(t) t

20 Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário Derivações importantes: Relação entre sinal impulso e sinal degrau unitário Extração de valor pontual de função genérica

21 Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário Derivações importantes: Extração de valor pontual de função genérica Propriedade de escala

22 Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Trem de impulsos Trem de impulsos Note que o trem de impulsos é periódico Período T = T 0 Útil para representar matematicamente a amostragem. Conversão AD Impossível de criar fisicamente.

23 Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Pulso retangular unitário Pulso retangular unitário Pulso triangular unitário Pulso triangular unitário

24 Sinais Sinais especiais Sinc unitário Sinc unitário Usado na reconstrução de sinais analógicos a partir de seqüências discretas (conversão DA) Gerador do fenômeno de Gibbs Veremos em transformada de Fourier

25 Sinais Sinais especiais Sinc unitário

26 Sinais Sinais especiais Sinal de Dirichlet Sinal de Dirichlet Serve para representação matemática da conversão AD Similaridade com sinc(t) N ímpar soma infinita de sinc(t) igualmente espaçados. N par soma alternada de sinc(t) Compare: sinal de Dirichlet trem de impulsos

27 Sinais Sinais especiais Sinal de Dirichlet

28 Sinais Sinais pares e ímpares Equivalente a idéia de funções pares e ímpares Sinal par: x(t) = x*(–t), para todo t R. Conjugado simétrico Sinal ímpar: x(t) = – x*(–t), para todo t R. Conjugado assimétrico Todo x(t) = x p (t) + x i (t) Como obter as partes par e ímpar de x(t)?

29 Sinais Sinais pares e ímpares Exemplos/Exercícios

30 Sinais Operações básicas Somasubtração Soma e subtração de sinais Multiplicaçãoquociente Multiplicação e quociente de sinais Multiplicação Modulação Observações importantes: ponto-a-ponto São realizadas ponto-a-ponto Equivalente a operações envolvendo funções Exemplo: w(t) = x(t) op y(t) op = +, -, *, / w(t 0 ) = x(t 0 ) op y(t 0 ) w(t 1 ) = x(t 1 ) op y(t 1 )...

31 Sinais Operações básicas Soma e subtração de sinais Multiplicação e quociente de sinais Exemplos/Exercícios

32 Sinais Operações básicas Deslocamento temporal Deslocamento temporal Operação de atraso ou avanço de sinais f(t) = g(t + t 0 ) f(t) está adiantado em relação a g(t) h(t) = g(t – t 0 ) h(t) está atrasada em relação a g(t) Dado g(t) e t 0 (tempo de atraso/avanço) Exemplos: Efeito Doppler Representação de eco Atraso de propagação em meios de comunicação

33 Sinais Operações básicas Deslocamento temporal Exemplos/Exercícios

34 Sinais Operações básicas Escala em amplitude Escala em amplitude h(t) = α g(t) Dado g(t) e α (fator de ganho) Pode representar: Amplificação Atenuação Reflexão

35 Sinais Operações básicas Escala em amplitude Exemplos/Exercícios

36 Sinais Operações básicas Escala no tempo Escala no tempo h(t) = g(t/A) Dado g(t) e A(zero) (fator de encolhimento/dilatação) Pode representar: Amplificação Atenuação Reflexão (ou inversão temporal) Disco sendo tocado de trás para frente.

37 Sinais Operações básicas Escala em amplitude Exemplos/Exercícios

38 Sinais Operações básicas Integração/diferenciação Integração/diferenciação Diferenciação de g(t) Inclinação de g(t) no instante t. Integração de g(t) Acumulação de g(t) até o instante t qualquer.

39 Sinais Operações básicas Integração/diferenciação Diferenciação Filtragem passa-alta Integração Filtragem passa-baixa Genericamente Genericamente Diferenciação e integração são operações opostas Lembrar da constante de integração por se tratar de sinais de duração infinita.

40 Sinais Operações básicas Integração/diferenciação

41 Sinais Operações básicas Integração/diferenciação

42 Sinais Operações básicas Integração/diferenciação Exemplos/Exercícios

43 Sinais Energia e Potência de Sinais Abstração matemática Tentativa de avaliar energia transferida pelo sinal Exemplos: Corrente, fluxo de nêutrons, força aplicada, temperatura Energia de sinal Energia de sinal Calculada para sinais para o qual E x converge!

44 Sinais Energia e Potência de Sinais Potência de sinal Potência de sinal Propício para sinais periódicos Para esses, E x não converge (E x oscila) Neste caso, T = T 0 (período do sinal)

45 Sinais Energia e Potência de Sinais Classe de sinais: Sinais com energia finita Sinais com potência finita Com energia infinita Sinais com energia e potência infinitas

46 Sinais Energia e Potência de Sinais Exemplos/Exercícios


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