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Transformada de fourier (ft)

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Apresentação em tema: "Transformada de fourier (ft)"— Transcrição da apresentação:

1 Transformada de fourier (ft)
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2 Transformada de Fourier
Série de Fourier Análise espectral de sinais periódicos Conteúdo espectral Freqüências múltiplas de kω (ou 2πkf) Como analisar conteúdo espectral para sinais aperiódicos?

3 Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise desejada Avaliação de sistema usando sinais aperiódicos

4 Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise atual Avaliação de sistema usando sinais periódicos

5 Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Aproximação viável Criar sinal periódico a partir de trecho a periódico

6 Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Qual o efeito da aproximação nas séries de Fourier?

7 Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise de pulso retangular (w=1)

8 Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise de pulso retangular (w=1) corrigida

9 Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise do pulso retangular T0  f0 Maior resolução da SF “Estica” a SF lateralmente + “Amassa” a SF Manutenção da “área” da envoltória da SF Análise do pulso retangular corrigida Envoltória da SF inalterada Note: abscissa passou de k para (kf0)

10 Transformada de Fourier
Definição Pares de transformadas para freqüência em radiano ou

11 Transformada de Fourier
Definição Pares de transformadas para freqüência em Hz ou

12 Transformada de Fourier
Definição Ortogonalidade de e-jΩt Projeções de x(t) no espaço e+jΩt  X(jΩ) Projeções de X(jΩ) no espaço e-jΩt  x(t)

13 Transformada de Fourier
Análise de alguns resultados Efeito de amplificação e deslocamento temporal Sinal  pulso unitário x(t) = rect(t)  X(jΩ) = ?

14 Transformada de Fourier
Análise de alguns resultados Efeito de amplificação e deslocamento temporal Sinal  pulso unitário Ω= 2π F=1

15 Transformada de Fourier
Análise de alguns resultados Efeito de amplificação e deslocamento temporal Sinal  pulso unitário

16 Transformada de Fourier
Transformada Generalizada Situações de falha de convergência da integração Exemplos: x(t) = A x(t) = u(t) x(t) = sen(2πf0t) ou x(t) = cos(2πf0t) x(t) = sgn(t) Uso de fator de convergência e-σ|t|, σ  zero

17 Transformada de Fourier
Transformada Generalizada Uso de fator de convergência e-σ|t|, σ  zero

18 Transformada de Fourier
Transformada Generalizada Existe freqüência negativa? Explique cos(Ω0t)  0.5 {δ(Ω + Ω0) + δ(Ω - Ω0)}

19 Transformada de Fourier
Computação numérica No Matlab/Octave/Scilab X(jkΩ) = Ta fftshift(fft(x[n], NFFT)) onde x[n] = x(nTa) x[n] é amostragem de x(t) Ta = (1/fa) = período de amostragem de x[n] Corresponde ao valor da FT na freqüência kΩ -NFFT/(2Ta) ≤ f k ≤ +NFFT/(2Ta) Em coordenadas discretas: 1 ≤ k ≤ NFFT

20 Transformada de Fourier
Propriedades Linearidade

21 Transformada de Fourier
Propriedades Deslocamento tempo Deslocamento em freqüência

22 Transformada de Fourier
Propriedades Deslocamento no tempo Alteração linear da fase de todas as componentes espectrais do sinal Deslocamento em freqüência Usada em modulação para sistemas de comunicação Rádio AM

23 Transformada de Fourier
Propriedades Escala no tempo Escala em freqüência

24 Transformada de Fourier
Propriedades Escala no tempo e em freqüência Compressão em um domínio gera expansão no outro

25 Transformada de Fourier
Propriedades Escala no tempo e em freqüência Princípio de incerteza Conceito de localidade de energia

26 Transformada de Fourier
Propriedades Conjugado Qual o efeito para x(t) ∈ R?

27 Transformada de Fourier
Propriedades Conjugado Exemplos

28 Transformada de Fourier
Propriedades Modulação Convolução

29 Transformada de Fourier
Propriedades Modulação e Convolução Dualidade Sistemas Convolução no tempo  resposta ao impulso Modulação em freqüência  resposta em freqüência

30 Transformada de Fourier
Propriedades Diferenciação Integração

31 Transformada de Fourier
Propriedades Integração Como conseqüência da definição da FT

32 Transformada de Fourier
Propriedades Dualidade Útil em cálculos

33 Transformada de Fourier
Propriedades Dualidade

34 Transformada de Fourier
Propriedades Sinais periódicos Naturalmente não são absolutamente integráveis São decompostos em séries de Fourier

35 Transformada de Fourier
Propriedades Teorema de Parseval Lembre-se: energia total de x(t) pode ser calculada em qualquer domínio

36 Transformada de Fourier
Propriedades Teorema de Parseval Densidade espectral de energia/potência Densidade de energia/potência espectral Power Spectral Density (PSD) |X(f)|2 ou |X(jΩ)|2


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