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TRANSFORMADA DE FOURIER (FT) Prof. Marcelo de Oliveira Rosa.

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Apresentação em tema: "TRANSFORMADA DE FOURIER (FT) Prof. Marcelo de Oliveira Rosa."— Transcrição da apresentação:

1 TRANSFORMADA DE FOURIER (FT) Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2 Transformada de Fourier  Série de Fourier sinais periódicos  Análise espectral de sinais periódicos  Conteúdo espectral  Freqüências múltiplas de kω (ou 2πkf)  Como analisar conteúdo espectral para sinais aperiódicos?

3 Transformada de Fourier  Série de Fourier “no limite”  Análise desejada  Avaliação de sistema usando sinais aperiódicos

4 Transformada de Fourier  Série de Fourier “no limite”  Análise atual  Avaliação de sistema usando sinais periódicos

5 Transformada de Fourier  Série de Fourier “no limite”  Aproximação  Aproximação viável  Criar sinal periódico a partir de trecho a periódico

6 Transformada de Fourier  Série de Fourier “no limite”  Qual o efeito da aproximação nas séries de Fourier?

7 Transformada de Fourier  Série de Fourier “no limite”  Análise de pulso retangular (w=1)

8 Transformada de Fourier  Série de Fourier “no limite” corrigida  Análise de pulso retangular (w=1) corrigida

9 Transformada de Fourier  Série de Fourier “no limite”  Análise do pulso retangular   T 0   f 0  Maior resolução da SF  “Estica” a SF lateralmente + “Amassa” a SF  Manutenção da “área” da envoltória  Manutenção da “área” da envoltória da SF corrigida  Análise do pulso retangular corrigida   T 0   f 0  Maior resolução da SF  Envoltória inalterada  Envoltória da SF inalterada  Note: abscissa passou de k para (kf 0 )

10 Transformada de Fourier  Definição  Pares de transformadas para freqüência em radiano  ou

11 Transformada de Fourier  Definição  Pares de transformadas para freqüência em Hz  ou

12 Transformada de Fourier  Definição  Ortogonalidade de e -jΩt  Projeções de x(t) no espaço e +jΩt  X(jΩ)  Projeções de X(jΩ) no espaço e -jΩt  x(t)

13 Transformada de Fourier  Análise de alguns resultados  Efeito de amplificação e deslocamento temporal  Sinal  pulso unitário  x(t) = rect(t)  X(jΩ) = ?

14 Transformada de Fourier  Análise de alguns resultados  Efeito de amplificação e deslocamento temporal  Sinal  pulso unitário Ω= 2π F=1

15 Transformada de Fourier  Análise de alguns resultados  Efeito de amplificação e deslocamento temporal  Sinal  pulso unitário

16 Transformada de Fourier  Transformada Generalizada  Situações de falha de convergência da integração  Exemplos:  x(t) = A  x(t) = u(t)  x(t) = sen(2πf 0 t) ou x(t) = cos(2πf 0 t)  x(t) = sgn(t)  Uso de fator de convergência  e -σ|t|, σ  zero

17 Transformada de Fourier  Transformada Generalizada  Uso de fator de convergência  e -σ|t|, σ  zero

18 Transformada de Fourier  Transformada Generalizada freqüência negativa  Existe freqüência negativa?  Explique cos(Ω 0 t)  0.5 {δ(Ω + Ω 0 ) + δ(Ω - Ω 0 )}

19 Transformada de Fourier  Computação numérica Matlab/Octave/Scilab  No Matlab/Octave/Scilab  X(j k Ω) = T a fftshift(fft( x[n], NFFT))  onde x[n] = x(nT a )  x[n] é amostragem de x(t)  T a = (1/f a ) = período de amostragem de x[n]  Corresponde ao valor da FT na freqüência k Ω  - NFFT /(2T a ) ≤ f k ≤ + NFFT /(2T a )  Em coordenadas discretas: 1 ≤ k ≤ NFFT

20 Transformada de Fourier  Propriedades  Linearidade

21 Transformada de Fourier  Propriedades  Deslocamento tempo  Deslocamento em freqüência

22 Transformada de Fourier  Propriedades  Deslocamento no tempo todas  Alteração linear da fase de todas as componentes espectrais do sinal  Deslocamento em freqüência modulação  Usada em modulação para sistemas de comunicação  Rádio AM

23 Transformada de Fourier  Propriedades  Escala no tempo  Escala em freqüência

24 Transformada de Fourier  Propriedades  Escala no tempo e em freqüência  Compressão expansão  Compressão em um domínio gera expansão no outro

25 Transformada de Fourier  Propriedades  Escala no tempo e em freqüência  Princípio de incerteza localidade de energia  Conceito de localidade de energia

26 Transformada de Fourier  Propriedades  Conjugado  Qual o efeito para x(t) ∈ R?

27 Transformada de Fourier  Propriedades  Conjugado  Exemplos

28 Transformada de Fourier  Propriedades  Modulação  Convolução

29 Transformada de Fourier  Propriedades  Modulação e Convolução  Dualidade  Sistemas  Convolução no tempo  resposta ao impulso  Modulação em freqüência  resposta em freqüência

30 Transformada de Fourier  Propriedades  Diferenciação  Integração

31 Transformada de Fourier  Propriedades  Integração  Como conseqüência da definição da FT

32 Transformada de Fourier  Propriedades  Dualidade  Útil em cálculos

33 Transformada de Fourier  Propriedades  Dualidade

34 Transformada de Fourier  Propriedades  Sinais periódicos não são absolutamente integráveis  Naturalmente não são absolutamente integráveis  São decompostos em séries de Fourier

35 Transformada de Fourier  Propriedades  Teorema de Parseval energia total  Lembre-se: energia total de x(t) pode ser calculada em qualquer domínio

36 Transformada de Fourier  Propriedades  Teorema de Parseval  Densidade espectral de energia/potência  Densidade de energia/potência espectral  Power Spectral Density (PSD)  |X(f)| 2 ou |X(jΩ)| 2


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