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A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b], e tal que f(x) 

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Apresentação em tema: "A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b], e tal que f(x) "— Transcrição da apresentação:

1 A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b], e tal que f(x)  0 p/ todo x  [a, b]. Problema: Calcular (definir) a área, A, da região do plano limitada pela curva y = f(x), o eixo OX e as retas x = a e x = b.

2 Tomemos números x 0, x 1, x 2,..., x n  [a, b] tais que a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b e, a 1, a 2,..., a n tais que a i  [x i-1, x i ]. Então

3 Definição 1: Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b]. Se existe e limitada no intervalo [a, b]. Se existe dizemos que f é integrável em [a, b] e que sua integral definida em [a, b] é I e é um número real.Notação:

4 O processo de determinação do limite é chamado cálculo da integral O processo de determinação do limite é chamado cálculo da integral Os números a e b são os limites de integração; a é o limite inferior e b é o limite superior. Os números a e b são os limites de integração; a é o limite inferior e b é o limite superior. A expressão f(x) é o integrando. A expressão f(x) é o integrando.

5 Proposição: Se f (x) é contínua em [a, b] então é integrável em [a, b]. Exemplo: f(x) = x para todo x  [0, 1].Mesmo sabendo tratar-se de uma função que possui integral, no momento ainda não temos recursos que facilitem calcular esta integral. Usaremos a definição e faremos uma escolha para os números x 0, x 1, x 2,..., x n e a 1, a 2,..., a n da seguinte forma: Dado n  N tomemos seguinte forma: Dado n  N tomemos

6 Propriedades da integral definida *Se f(x) e g(x) são funções integráveis em [a, b] e k  R então f(x)  g(x) são integráveis em [a,b] e *k.f(x) é integrável em [a, b] e *k.f(x) é integrável em [a, b] e *Se f(x)  g(x), para todo x  [a, b] então *Se f(x)  0, para todo x  [a, b] então

7 Definição 2: 2.2) Se f(x) é integrável em [a, b] então 2.2) Se f(x) é integrável em [a, b] então Propriedade i) Sejam a, b, e c  R, se

8 Propriedade ii) O Teorema da Média Se f(x) é contínua em [a, b] então existe pelo menos um número c [a, b] tal que " Se f(x)  0, a área da região limitada pela curva y = f(x) e o eixo Ox é igual a área do retângulo de base [a, b] e altura f(c)" Definição 3 ( Valor médio): f(c) é o valor médio de f em [a, b]. 

9 Propriedade iii) Propriedade iii) Se f(x) é contínua em [a, b] então é uma primitiva de f(x). Isto é, F´(x)= f(x). Prova:

10 O Teorema fundamental do cálculo Se f(x) é contínua em [a, b] e F(x) é uma primitiva qualquer de f(x) então Se f(x) é contínua em [a, b] e F(x) é uma primitiva qualquer de f(x) então Prova:

11 Proposição 1: Sejam J um intervalo e g: [a, b]  J uma função com derivada contínua e f : J  R uma função contínua. Então, Propriedade i) Se f(x) é uma função par e contínua em [-a, a] então

12 Propriedade ii) Se f(x) é uma função ímpar e contínua em [-a, a] então Propriedade iii) Se f(x) é uma função contínua em R e periódica de período T então para todo a Î R temos

13 Cálculo de áreas de figuras planas (coordenadas cartesianas) Observação 1: Dada f(x) uma função contínua em [a,b], se A é a área da região do plano cartesiano limitada pelo eixo Ox e pela curva y = f(x) e tal que a  x  b então

14 Observação 2: Dadas f e g funções contínuas em [a,b], se A é a área da região do plano cartesiano limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e tal que a  x  b então Exemplo : Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas


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