A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no

Apresentação em tema: "A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no"— Transcrição da apresentação:

1 A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no
intervalo [a, b], e tal que f(x) ³ 0 p/ todo x Î [a, b]. Problema: Calcular (definir) a área, A, da região do plano limitada pela curva y = f(x), o eixo OX e as retas x = a e x = b.        

2 Tomemos números x0, x1, x2, ..., xn Î [a, b] tais
que a = x0 < x1< x2 < ... < xn = b e , a1, a2, ..., an tais que ai Î [xi-1, xi]. Então

3 Definição 1: Seja y = f(x) uma função definida
e limitada no intervalo [a, b]. Se existe   dizemos que f é integrável em [a, b] e que sua integral definida em [a, b] é I e é um número real. Notação:

4 O processo de determinação do limite é chamado cálculo da integral
Os números a e b são os limites de integração; a é o limite inferior e b é o limite superior. A expressão f(x) é o integrando.

5 Proposição: Se f (x) é contínua em [a, b] então
é integrável em [a, b]. Exemplo: f(x) = x para todo x Î [0, 1].Mesmo sabendo tratar-se de uma função que possui integral, no momento ainda não temos recursos que facilitem calcular esta integral. Usaremos a definição e faremos uma escolha para os números x0, x1, x2, ..., xne  a1, a2, ..., an da seguinte forma:  Dado n Î N tomemos 

6 Propriedades da integral definida
*Se f(x) e g(x) são funções integráveis em [a, b] e k Î R então f(x) ± g(x) são integráveis em [a,b] e *k.f(x) é integrável em [a, b] e *Se f(x) £ g(x), para todo x Î [a, b] então *Se f(x) ³ 0, para todo x Î [a, b] então      

7 2.2) Se f(x) é integrável em [a, b] então
Definição 2: 2.2) Se f(x) é integrável em [a, b] então Propriedade i) Sejam a, b, e c Î R, se

8 Definição 3 ( Valor médio): f(c) é o valor médio de f em [a, b].
 Propriedade ii) O Teorema da Média Se f(x) é contínua em [a, b] então existe pelo menos um número c [a, b] tal que " Se f(x) ³ 0, a área da região limitada pela curva y = f(x) e o eixo Ox é igual a área do retângulo de base [a, b] e altura f(c)" Î Definição 3 ( Valor médio): f(c) é o valor médio de f em [a, b].

9 Propriedade iii) Se f(x) é contínua em [a, b] então é uma primitiva de f(x). Isto é, F´(x)= f(x). Prova:

10 O Teorema fundamental do cálculo
Se f(x) é contínua em [a, b] e F(x) é uma primitiva qualquer de f(x) então Prova:

11 Proposição 1: Sejam J um intervalo e g: [a, b] ® J uma função com derivada contínua e f : J ® R uma função contínua. Então, Propriedade i) Se f(x) é uma função par e contínua em [-a, a] então

12 Propriedade ii) Se f(x) é uma função ímpar e contínua em [-a, a] então
Propriedade iii) Se f(x) é uma função contínua em R e periódica de período T então para todo a Î R temos

13 Cálculo de áreas de figuras planas
(coordenadas cartesianas) Observação 1: Dada f(x) uma função contínua em [a,b], se A é a área da região do plano cartesiano limitada pelo eixo Ox e pela curva y = f(x) e tal que a £ x £ b então

14 Observação 2: Dadas f e g funções contínuas
em [a,b], se A é a área da região do plano cartesiano limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e tal que a £ x £ b então Exemplo : Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas