1AT 2004 Conceitos de Sinais e Sistemas Mestrado em Ciências da Fala e da Audição António Teixeira.

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1 1AT 2004 Conceitos de Sinais e Sistemas Mestrado em Ciências da Fala e da Audição António Teixeira

2 2AT 2004 Aula 6 Convolução –para sistemas discretos Representação de sistemas por equações diferença MATLAB –conv() –filter()

3 3AT 2004 Convolução Ver secção 5.6.1 de “Techniques in Speech Acoustics” por J. Harrington & S. Cassidy e secção 2.2.2 de “Sinais e Sistemas” de Isabel Lourtie

4 4AT 2004 Sinais como somas de impulsos Qualquer sinal discreto pode ser representado por uma soma pesada de impulsos –ex: –seria: x[n]= 1 x impulso em t=1 + 2 x impulso em t=2 + 3 x impulso em t=3 –ou: x[n]= 1  [n-1] + 2  [n-2] + 3  [n-3]

5 5AT 2004 Caso geral Generalizando: –qualquer sinal discreto x[n] pode ser representado em função de impulsos unitários através da expressão x[n]=  x[k]  [n-k]

6 6AT 2004 Sistemas lineares e invariantes no tempo Como resultado das propriedades de invariância temporal e linearidade tem-se: –sistema invariante  [n]  h[n] = >  [n-k]  h[n-k] –sistema linear  k [n]=  [n-k]  h k [n] = h[n-k] = > = > x[n] =  a k  k [n]  y[n]=  a k h k [n] como a k = x[k] temos: y[n]=  x[k] h[n-k] = x[n] * h[n] convolução

7 7AT 2004 Cálculo da convolução y[n]=  x[k]. h[n-k] Para obter a saída no instante n é necessário realizar as seguintes 4 operações –determinar a reflexão em relação à origem da resposta impulsional h[k] obtendo z[k]=h[-k] –atrasar o sinal z[k] de n unidades, isto é do valor correspondente ao instante, obtendo-se z[k-n]=h[n-k] –multiplicar ponto a ponto h[n-k] pela entrada x[k] –somar todos os pontos

8 8AT 2004 Exemplo dconvdemo

9 9AT 2004 Propriedades da convolução Comutativa x[n] * h[n] = h[n] * x[n] Associativa x[n] * ( h1[n] * h2[n] ) = ( x[n] * h1[n] ) * h2[n] Distributiva x[n] * (h1[n] + h2[n]) = x[n] * h1[n] + x[n] * h2[n]

10 10AT 2004 Convolução em MATLAB Existe a função conv () exemplo de utilização x=[1 1 1 1] h=[3 2 1] y=conv(x,h) y2=conv(h,x) subplot(221); stem(x) subplot(222); stem(h) subplot(223); stem(y) subplot(224); stem(y2)

11 11AT 2004 O processo de convolução multiplica as amostras presente e passadas do sinal de entradas por um factor por forma a obter a saída Este processo pode ser aplicado também a amostras passadas do sinal de saída, tendo-se em vez de y = x * b, em que b é h[n] a situação mais geral y * a = x * b

12 12AT 2004 Se b=1 temos y * a = x ou seja a[0] y[n]+a[1] y[n-1]+a[2] y [n-2]+...+a[p] y[n-p]=x[n] Exemplo: x=[4 2 1 3] a=[0.5 0.2] % note que se assume a[0]=1 y[0]= x[0]-0.5 y[-1] – 0.2 y[-2] =... = x[0] = 4 y[1]= x[1]-0.5 y[0] – 0.2 y[-1] = 2 – (0.5 x 4) – 0 = 0 y[2]=... = 0.2 y[3]=... y[n]= x[n] - 0.5 y[n-1] – 0.2 y[n-2]

13 13AT 2004 Tendo os vectores de coeficientes a e b obtem-se a saída utilizando o comando filter() y=filter(b,a,x) % note a ordem b,a ! Exemplo (anterior): x=[4 2 1 3 zeros(1,100)] a=[1 0.5 0.2] y=filter(1,a,x) stem(y) em MATLAB zoom verificando a resposta calculada manualmente.... >> y(1:5) ans = 4.0000 0 0.2000 2.9000 -1.4900

14 14AT 2004 Resposta impulsional deste último sistema x=[1 zeros(1,100)] a=[1 0.5 0.2 ] y=filter(1,a,x) stem(y)

15 15AT 2004 Função de transferência Os factores multiplicativos aplicados ao sinal de entrada e/ou à saída (em instantes anteriores) definem a chamada função de transferência do sistema –porque estes coeficientes transformam um sinal de entrada num sinal de saída –são os responsáveis por deixar no sinal as marcas do sistema no sinal

16 16AT 2004 Relação com a produção de voz Segundo a teoria fonte filtro: –o sinal de voz resulta da passagem do sinal gerado pela(s) fonte(s) através do sistema/filtro constituído pelo tracto vocal o nosso sinal de entrada x será a excitação glotal, fonte de ruído ou ambos o a e b representarão o tracto Os pesos do vector a estão directamente relacionados com as frequências das formantes –Um modelo adequado para as vogais será y*a=x (a[0]=1) –Para sons como as nasais temos ressonâncias e antirresonâncias, um modelo mais apropriado será y*a = b* x (a[0]=1) Este assunto será retomado...

17 17AT 2004 TPC Leitura da secção 5.6.1 de Harrington & Cassidy

18 18AT 2004 Aula 6 Convolução filter