Lógica Edward Hermann Haeusler Departamento de Informática TECMF PUC/RJ

Edward HermannLógica e Especificação 2 - O que é Lógica ? Tentativa de conceituação do Razoável - O que a Lógica estuda ? - Quem estuda Lógica ?

Edward HermannLógica e Especificação 3 Razoável Aquilo que é passível de uma explicação. Explicação = Argumento Argumento é um objeto lingüístico

Edward HermannLógica e Especificação 4 Argumentos e Solucao de Problemas -Tenho 3 esferas visualmente identicas. Entretanto duas tem o mesmo peso, enquanto uma terceira tem peso diferente. Utilizando somente uma balanca de equilibrio, sem pesos marcados, como posso descobrir a esfera diferente e saber se e’ mais pesada ou mais leve ???  Prove que uma das 3 esferas e’ mais pesada ou mais leve

Edward HermannLógica e Especificação 5 Algumas soluções ??? 1- Pego aleatoriamente alguma esfera. Jogo para outra pessoa, se esta pessoa pegar com a mão esquerda é a esfera mais pesada, se pegar com a mão direita é a mais leve. 2- Peso a esfera 1 com a 2. Se a 1 é mais pesada então é ela é a de peso diferente que é mais pesada. Caso contrário ela é mais leve e também é de peso diferente. 3- Peso a esfera 1 com a 2. Se der peso mesmo peso, peso a 3 com a 2, pesando mais a 3 é a mais pesada, pesando menos a 3 é a mais leve. 4- Peso a esfera 1 com a 2. Se a 1 for mais pesada, peso a 3 com a 1, se a 1 for mais pesada então ela é a esfera diferente e mais pesada. Se 3 e 1 pesarem o mesmo então a esfera 2 é a mais leve e diferente.

Edward HermannLógica e Especificação 6 12 >1 13 =1 13 > >1=1 2 >3<3 332 >2=2 1

Edward HermannLógica e Especificação 7 O que é um argumento ??  Sequência de sentenças onde uma delas é dita ser a conclusão do argumento O que difere um argumento de uma descrição ou narração ?? Quando um argumento é bom ??

Edward HermannLógica e Especificação 8 Exemplos de Argumentos Todo homem é mortal. FHC é homem FHC é mortal. Todo homem é animal Todo gato é animal Todo gato é homem

Edward HermannLógica e Especificação 9 Há exatamente 136 caixas de bombas em um depósito. Cada caixa contém pelo menos 140 bombas Nenhuma caixa tem mais de 156 bombas Lula é o presidente do Brasil Brasília é a capital do Brasil A lua é um satélite da Terra

Edward HermannLógica e Especificação 10 Lula é o presidente do Brasil Lula é humano e presidente do Brasil Lula é o presidente do Brasil Lula é humano ou presidente do Brasil

Edward HermannLógica e Especificação 11 Alguns paulistas são latinos. Alguns brasileiros são latinos Alguns brasileiros são paulistas Tudo que é raro é caro. Uma casa boa e barata é rara Uma casa boa e barata é cara. Todo triângulo tem somente 3 lados Todo quadrado é triângulo Todo quadrado tem somente 3 lados.

Edward HermannLógica e Especificação 12 Especificacao, Prova e Solucao de Problemas -Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são Arantes, Braga e Castro, não necessariamente nesta ordem. A de sobrenome Braga, que não é Ana, é mais velha que Carla e a de sobrenome Castro é a mais velha das 3.  Qual a melhor ordem ? - Resolver, Especificar, Provar - Resolver, Provar, Especificar - Especificar, Resolver, Provar - Provar, Especificar, Resolver - Especificar, Provar, Resolver - Provar, Resolver, Especificar

Edward HermannLógica e Especificação 13 Como Definir critérios para correção de Argumentos ? Através de Linguagens para : Expressar Procedimentos Expressar Argumentos

Edward HermannLógica e Especificação 14 Principais Componentes de uma Linguagem - Sintaxe : Como se escreve ? - Semântica : O que significa ? - Pragmática : Como se usa ?

Edward HermannLógica e Especificação 15 Em uma L.P. - Como é um programa ? - Como se executa ou, O que um programa faz ? - Como se constroem programas visando a solução de problemas ?

Edward HermannLógica e Especificação 16 A Linguagem da Lógica A Lógica tem, tradicionalmente, por objetivo a definição do que seja uma argumentação correta. Argumentação = Sequência de sentenças onde distingue-se premissas e conclusão Sentença = Expressão linguística enunciadora de um pensamento completo.

Edward HermannLógica e Especificação 17 Exemplos de Sentenças. 1. Salvador é a capital da Bahia. 2. (2 + 3) = Qual o melhor time de futebol do Brasil ? 4. Compile o Programa ! O tipo de sentença de interesse em uma argumentação é a sentença declarativa.

Edward HermannLógica e Especificação 18 Semântica

Edward HermannLógica e Especificação 19 Semântica e Denotação  Numerais x Números  Palavras x Objetos/Idéias I II IX XIII XVII XXX obs: Numerais e Palavras não expressam um pensamento completo

Edward HermannLógica e Especificação 20 Expressões aritméticas : * (1 + 2) * 5  V ( (1 + 2) * 5)  V ( ) * V ( 5 )  V ( 1 ) + V ( 2 ) * 5  ( ) * 5 = 15 SintaxeSemântica Ext.

Edward HermannLógica e Especificação 21 Linguagem e Metalinguagem À linguagem descritora chamamos de metalinguagem enquanto à descrita chamamos de linguagem objeto. - Precisa-se de uma linguagem para descrever outra linguagem. -

Edward HermannLógica e Especificação 22 Paradoxos 1. Eu sou Mentiroso O menor denominador comum entre 1/2 e 2/3 é /2 = 2/4 Então o menor denominador comum entre 2/4 e 2/3 é 6.

Edward HermannLógica e Especificação 23 Antes de 1879 ===> Lógica Aristotélica e Escolástica (a partir de 300 a.c.) Álgebras Booleanas (Boole 1847) Álgebra Relacional (DeMorgan, Schroeder, C.S.Peirce XIX) O desenvolvimento da Lógica Ensaios sobre a Contingência e Existência a partir de consistência (Leibniz 1676) Lógica Transcendental X Geral (Kant 1781) Quebra de Paradigma (Descartes 1637, DSM) Frege (Begrifschrifts, 1879) -> Início da Formalização da lógica

Edward HermannLógica e Especificação 24 Silogismos Aristotélicos

Edward HermannLógica e Especificação 25 Frege e a Formalização da Linguagem da Lógica

Edward HermannLógica e Especificação 26 Principais Resultados em Lógica/Metamatemática no início do século XX - Teoria dos Tipos como solução ao paradoxo em Russell - Presburger (1929) prova que a aritmética sem a multiplicação é decidível. - Russell e Whitehead publicam o Principia Mathematica. - Skolem (1931) prova que a aritmética sem a adição e o sucessor é decidível - Herbrand (1931) prova a consistência de um fragmento fraco da aritmética (só o sucessor). -Tarski (1930) Prova que a aritmética com adição (+) e menor (<) é decidível. (1936) Formaliza a semântica adequada para a lógica de primeira ordem (1949) Prova da decidibilidade da Teoria dos Reais - Gödel (1930) prova a completude do cálculo de primeira ordem - Gödel (1931) introduz a idéia de aritmetizar (codificar na forma numérica) a linguagem de um sistema formal de forma que (meta) teoremas do sistema possam ser vistos como teoremas aritméticos e prova seu famoso teorema da incompletude. Obs: #  é o código de . - Gödel (1931) prova a não-provabilidade da consistência.

Edward HermannLógica e Especificação 27 Em Lógica Matemática Prova formada por (Argumentação) Regras de Inferência formada por Premissasconclusão (Argumento) são Sentenças Átomosconectivos/ quantificadores Sentenças Compostas ?

Edward HermannLógica e Especificação 28 Como representar os elementos da linguagem lógica tendo por princípio a universalidade ?  Formalização da linguagem. Somente conectivos/quantificadores podem possuir significado a priori. Átomos são representados por Letras sentenciais (log. Sentencial). Fórmulas (combinações de átomos via conectivos) representam sentenças em geral. 

Edward HermannLógica e Especificação 29 O significado de cada conectivo pode ser determinado pelas regras que ditam seu uso (Semântica Operacional) Da praxis matemática tiramos :  Conjunção ( "e" lógico)   Disjunção ( "ou" lógico)  Implicação ( "se ____ então____")  ~ = Negação ( "não lógico ") Conectivos O significado de cada conectivo pode ser determinado pelas condições de verdade estabelecidas por ele (Semântica tradicional ou Tarskiana)

Edward HermannLógica e Especificação 30 Fórmulas  Toda letra sentencial é uma fórmula  Se  e  são fórmulas, então também são fórmulas : -     ~  Obs : Parenteses são usados para auxiliar à análise sintática.

Edward HermannLógica e Especificação 31 Semântica p/ Lógica Clássica Extensional com Valores de "Verdade".  Atribuição arbitrária de valores para as letras sentenciais.  Fórmulas têm seus valores determinados pela interpretacão e pelas funções semân- ticas associadas a cada conectivo. (Interpretação)

Edward HermannLógica e Especificação 32 Funções na forma de Tabela. VF V F VF V F VF V F  V F FF  VV VF  VF V V ~ VF FV F 

Edward HermannLógica e Especificação 33 VF V F  VF V V VF V F VF V F 

Edward HermannLógica e Especificação 34 Atribuição de Valores à fórmulas Interpretação : I : Letras  {V,F} Dada uma interpretação I pode-se definir a denotação associada V :   V (I, L) = I ( L) se L é letra sentencial.  V ( I,  ) = V (I,  )  V ( I,  )  V (I,  ) = V (I,  )  V (I,  )  V (I,  ) = V (I,  )  F = ~ V (I,  )

Edward HermannLógica e Especificação 35 Def. Uma f interpretação que a torna verdadeira, i.e. Existe I, tal que V (I,  ) = V Def. Diz-se que umafórmula é válida, sse, ela é verdadeira sob toda interpretação. órmula  é dita satisfatível, sse, existe uma Def. Um conjunto de fórmulas é satisfatível, sse, todas as suas fórmulas são satisfatíveis (para a mesma interpretação.

Edward HermannLógica e Especificação 36 O conceito de conectivo principal.  É aquele conectivo que aparece em primeiro plano em uma análise sintá- tica. Exemplos: (A  B)  (C  D) ~ (A  B) (A  B)  C

Edward HermannLógica e Especificação 37 Def. Uma fórmula  é dita ser consequência lógica de um conjunto  de fórmulas (   ), sse : - Toda interpretação que "torna" todas as fórmulas de  verdadeiras “torna”  verdadeira. Ex: - { ~~ A} A - {A, A  B} B - {A  B, A  C, B  C} C - {A  B} ~B  ~A Def.  é equivalente a  sse   e  

Edward HermannLógica e Especificação 38 Completude funcional da lógica clássica - Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e  ?? - Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e  ?? - Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e  ?? - Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e  ?? - Pode-se expressar todas as funções booleanas (arid. finita) por meio dos conectivos acima ?? - Pode-se expressar todas as funções booleanas (arid. finita) com um conectivo só (novo certamente) ??

Edward HermannLógica e Especificação 39 Sistemas Dedutivos e Argumentação Formal Def1. Um sistema dedutivo é um mecanismo que permite a construção de argumentos formais Def2. Um sistema dedutivo é um mecanismo que permite estabelecer conclusões a partir de hipóteses. Def3. Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas) que permite “chegar” a conclusões (sentenças) a partir de hipóteses (sentenças). Def4. Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas) onde os axiomas são fórmulas válidas e as regras preservam a verdade.

Edward HermannLógica e Especificação 40 Universalidade da noção de correto O conceito de argumento correto deve ser baseado na forma do mesmo e não em seu significado particular, ou Um argumento é correto quando é invariante sob substituição, i.e., o que importa é o rela- cionamento entre premissas e conclusão e não estas propriamente ditas.

Edward HermannLógica e Especificação 41 Os sistemas a la Frege/Hilbert Esquemas de Axiomas: (K) A  (B  A) (S) A  (B  C)  (A  B)  (A  C) (Cla)   A  A Regra: (Modus Ponens) A A  B B

Edward HermannLógica e Especificação 42 Exemplos de Deduções A  ((A  A)  A)A  ((A  A)  A)  ( (A  (A  A))  (A  A)) (A  (A  A))  (A  A)A  (A  A) AAAA

Edward HermannLógica e Especificação 43 Exemplos de Deduções A  ((A  A)  A)A  ((A  A)  A)  ( (A  (A  A))  (A  A)) (A  (A  A))  (A  A)A  (A  A) AAAA (K) X  (Y  X) (S) X  (Y  Z)  (X  Y)  (X  Z)

Edward HermannLógica e Especificação 44 Discussão: 1- O método da “tabela verdade” é um sistema dedutivo ?? 2- O que dizer do sistema dedutivo somente com a regra de modus ponens e como axiomas todas as fórmulas válidas (tautologias) 3- Como comparar sistemas dedutivos ?? 4- O que a prova de um teorema deve nos dizer ?? 5- O que Prova de Teoremas tem a ver com computação e programação ?

Edward HermannLógica e Especificação 45 Programa do Curso 1- Lógica Proposicional: Clássica e Intuicionista - Sintaxe, Semântica e Sistemas Dedutivos - Especificação e Solução de Problemas via PT. 2- Lógica de Primeira Ordem: Clássica - SINTAXE, SEMÂNTICA e - Sistemas Dedutivos - Especificação Formal 4- Lógicas Modais: - SINTAXE e SEMÂNTICA - Verificação de Modelos e Noções de Validação Formal 3- Noções de Complexidade Computacional em Lógica 6- Noções de Teoria da Prova 5- Lógicas de Descrição: Notícias e Exemplos Práticos

Edward HermannLógica e Especificação 46 Bibliografia 1- Teoria das Categorias e Ciência da Computação. Menezes, P.B. & Haeusler, E.H. Editora Sagra-Luzzato(Caps. 2 e 7) 2- Logic and Structure. Dirk van Dalen. Springer-Verlag. (3rd edição) 3- A Mathematical Introduction to Logic. H.B. Enderton. 4- Logics of Time and Computation. Robert Goldblatt. CSLI 0- LÓGICA PARA COMPUTAÇÃO Flávio Soares Corrêa da Silva, Marcelo Finger e Ana Cristina Vieira de Melo. Ed. Thompson, (caps 1 e 2)

Edward HermannLógica e Especificação 47 Semânticas Extensional X Intensional 1. Planeta Vênus. 2. Estrela Vespertina. 3. Segundo Planeta do Sistema Solar. - Em uma sem. extensional 1,2 e 3 têm o mesmo significado. - Em uma sem. intensional 1, 2 e 3 têm diferentes significados. A forma é levada (sintaxe ?) em conta.

Edward HermannLógica e Especificação 48 Princípio da Funcionalidade de Frege A Semântica de uma expressão deve ser uma função da semântica das suas sub- expressões. Objetos sintáticos são naturalmente Hierárquicos (estruturados).

Edward HermannLógica e Especificação 49 Princípio da Funcionalidade e intensionalidade. 1. Necessariamente a estrela matutina é a estrela matutina. 2. Necessariamente a estrela matutina é a estrela vespertina. Linguagem natural necessita de semântica intensional. 