Matemática para Informática Professora Chaiene Minella chaiene.yolasite.com

Teoria Geral dos Conjuntos  Conjuntos Conjuntos Elementos  Notações Pertinência Inclusão  Relações Subconjuntos  Operações sobre conjuntos União Interseção Diferença

Conjuntos  O que são Conjuntos? Conjunto é qualquer coleção de objetos. Os objetos são os elementos do conjunto e dizemos que pertencem ao mesmo.  Como exemplo de conjunto podemos citar o Campeonato Brasileiro de Futebol, onde seus elementos são os times e que Corinthians, Flamengo e Grêmio pertencem a esse conjunto.  Outro exemplo de conjunto é o conjunto dos números múltiplos de 5 (25, 125, 625, etc).

Conjuntos  Porque estudamos os conjuntos em Matemática? Os Conjuntos fornecem um padrão de linguagem para a Matemática. Quando determinamos os possíveis resultados de uma inequação, a teoria dos conjuntos nos permite compreender de forma simples e rápida os valores que nos interessam. Outra aplicação muito importante dos conjuntos é na Estatística, onde o estudo sobre um conjunto de dados coletados permite tomarmos decisões quanto a acontecimentos futuros.

Conjuntos  Usa-se letras maiúsculas para denotar conjuntos.  Usa-se letras minúsculas para denotar os elementos do conjunto.  Usamos chaves para indicar um conjunto.  Por exemplo A = {azul, verde, branco}  Os elementos em um conjunto não tem nenhuma ordem, de modo que {azul, verde, branco} é o mesmo que {branco, azul, verde}.

Conjuntos  { } ou Ø = vazio  {Ø} = conjunto com elemento vazio  {Ø} ≠ Ø (são diferentes)  a = letra minúscula representa o elemento  A = letra maiúscula representa o conjunto

Conjuntos  Quando o conjunto possui infinitos valores, como o conjunto dos números pares, utilizamos matematicamente: P = {x | x é par} (lê-se P é o conjunto dos x tal que x é par). P = {2,4,6,8,... }

Conjuntos  Para que um conjunto seja igual a outro, todos os elementos do primeiro devem ser iguais aos do segundo.  Caso um ou mais dos elementos não seja igual, os conjuntos são diferentes. Exemplo: A = {2,4,6,8} B = {2,4,6,8} C = {2,6,8} Então, A = B e A ≠ C

Conjuntos  Diz-se conjunto-universo ao conjunto do qual se faz o estudo.  Se estivermos analisando o conjunto de crianças que passam fome, seu conjunto-universo poderá ser o Brasil, a África, a cidade de São Paulo, etc.  Diz-se ainda conjunto unitário o conjunto formado por apenas um elemento.  Conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento.

Notações  Pertinência ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence) Sempre verificando de elemento para conjunto

Notações A = {a, b, c, d, e} B = {d, e, f} C = {d, e, f}  Dizemos que: a ∈ A (lê-se a pertence ao conjunto A)  Do mesmo modo: f ∉ A (lê-se f não pertence ao conjunto A)

Notações  Inclusão С (contido) ou (não está contido) Ɔ (contém) ou Ɔ (não contém) Sempre verificando de conjunto para conjunto

Notações  Inclusão X = {1,2,5,6} Y = {2,5} Z = {7,8,9} Diz-se que: Y está contido em X (Y ⊂ X), ou seja, Y é subconjunto de X. Note que todos os elementos de Y são elementos de X também. Lê-se, X contém Y (X ⊃ Y). Lê-se, Y não está contido em Z (Y ⊄ Z).

Operações  União A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A, ou B, ou ambos. Indicaremos a união pelo símbolo U Matematicamente: A U B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

Operações  União A = {1,2,3} B = {4,5,6} A U B = {1,2,3,4,5,6}

Operações  Interseção A interseção de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos em comum que pertencem a A e B. Indicaremos a união pelo símbolo ∩ Matematicamente: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Operações  Interseção A = {1,2,3,4,5} B = {4,5,6} A ∩ B = {4,5}

Operações  Diferença A diferença entre os conjuntos A e B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B ou, os elementos que pertencem a B e não pertencem A. A – B ou B – C

Operações  Diferença A = {1,2,3,4,5} B = {4,5,6,7} A – B = {1,2,3} B – A = {6,7}

Operações  Diferença Simétrica A diferença simétrica entre os conjuntos A e B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B ou, os elementos que pertencem a B e não pertencem A. Indicaremos a diferença simétrica entre A e B por: A Δ B = {x | x ∈ A - B ou x ∈ B - A} = (A - B) U (B - A)

Operações  Diferença Simétrica A = {1,2,3,4,5} B = {4,5,6,7} A – B = {1,2,3} B – A = {6,7} (A – B) U (B – A) = {1,2,3,6,7}

Diagramas de Venn  John Venn (1834 – 1923) foi um matemático britânico do século XIX.

Diagramas de Venn

 União

Diagramas de Venn  Interseção Obs.: Quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio, eles são chamados de conjuntos disjuntos.

Diagramas de Venn  Diferença

Diagramas de Venn  Diferença simétrica