Estatística Aula 06 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 06 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de Assis

Aula 06 Probabilidade Introdução Experimento aleatório Eventos e espaço amostral Propriedades dos eventos Definições de probabilidade

O que vimos até o momento ? Introdução O que vimos até o momento ? Análise preliminar de uma amostra de dados por meio de um conjunto de técnicas numéricas e gráficas O que são aquilo que vimos? Estimativas de quantidades populacionais desconhecidas Como então podemos tirar conclusões sobre populações? Necessário estabelecer um modelo matemático que contenha os principais elementos do processo que determinou a ocorrência das observações

Que tipo de modelo utilizamos e por que? Introdução Que tipo de modelo utilizamos e por que? Probabilístico  impossibilidade de sintetizar em um conjunto de equações a lei que descreve rigorosamente a variação de um certo fenômeno Explique melhor ... A teoria de probabilidades lida com a realização de experimentos, naturais ou planejados pelo homem, cujos resultados não podem ser previstos com exatidão Há um componente aleatório nos experimentos Provoca variações nos resultados  às vezes não podem ser ignoradas  modeladas

Experimento aleatório É aquele cujo resultado não pode ser conhecido antes da sua realização  ele pode ser repetido várias vezes da mesma forma e apresentar resultados diferentes Exemplos: O resultado da jogada de um dado O número de carros que passam em um posto de pedágio movimentado no intervalo de meia hora Os números que vão “sair” no concurso da Mega-Sena da próxima semana O risco de uma construção ser alagada nas proximidades de um rio

Experimento aleatório Não sabemos exatamente qual o resultado da experiência aleatória ... ... , mas também não existe ignorância completa sobre o assunto No exemplo da jogada do dado, é claro que os resultados possíveis são {1, 2, 3, 4, 5, 6}, as faces do dado No caso da Mega-Sena, o conjunto de valores possíveis são os 6 números sorteados no conjunto {0, ..., 50} No caso do pedágio, podemos estabelecer um intervalo de valores máximos e mínimos de carros

Qualquer conjunto de resultados ou saídas de um experimento Eventos e espaço amostral Evento Qualquer conjunto de resultados ou saídas de um experimento Simples  é um resultado ou evento que não pode mais ser decomposto em componentes mais simples Ao lançar um dado  5 é um evento simples Ao lançarmos e tomarmos a soma dos resultados dos dois  7 é um evento simples?

Eventos e espaço amostral Experimento: lançamento de 2 dados  somam-se os resultados: o evento 7 Dado 1 Dado 2 Resultado 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 . Eventos mais simples: 6-1, 5-2, 4-3, ... 7 7 7 Há 36 maneiras de obtermos o número 7  36 eventos simples 7

Eventos e espaço amostral É o conjunto de todos os eventos simples possíveis de uma experiência aleatória, isto é, consiste em todos os resultados que não podem ser mais decompostos S Experimento: lançamento de 1 dado Espaço amostral S = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6} 1 2 3 4 5 6

Propriedades de Eventos Interseção de 2 eventos A e B Equivale à ocorrência de ambos  contém todos os pontos do espaço amostral comuns a A e B e é denotado por A ∩ B Exclusão de 2 eventos A e B A e B são mutuamente exclusivos, ou mutuamente excludentes ou ainda disjuntos quando a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro  não ocorrem simultaneamente  não têm nenhum ponto em comum  escreve-se A ∩ B = Ø

Propriedades de Eventos União de 2 eventos A e B Equivale à ocorrência de A, ou de B, ou de ambos Contém os elementos do espaço amostral que estão em pelo menos um dos dois conjuntos e é denotado por A U B Negação A negação do evento A, denotada por A, é chamada de evento complementar de A

Propriedades de Eventos Associativa (A1 U A2) U A3 = A1 U (A2 U A3) (A1 ∩ A2) ∩ A3 = A1 ∩ (A2 ∩ A3) ( ) ( ) Distributiva (A1 U A2) ∩ A3 = (A1 ∩ A3) U (A2 ∩ A3) (A1 ∩ A2) U A3 = (A1 U A3) ∩ (A2 U A3)

Algumas operações com eventos Propriedades de Eventos Algumas operações com eventos

Algumas operações com eventos Propriedades de Eventos Algumas operações com eventos

Algumas operações com eventos Propriedades de Eventos Algumas operações com eventos

Exercícios de Eventos Exemplo 1 {x │1 ≤ x < 118} Medidas de tempo necessário para completar uma reação química podem ser modeladas com o espaço amostral S = (0,∞), o conjunto de números reais positivos. Faça: E1 = {x │ 1 ≤ x < 10} e E2 = {x │ 3 < x < 118} Determine: E1 U E2 = E1 ∩ E2 = E1 = {x │1 ≤ x < 118} {x │3 < x < 10} {x │0 ≤ x < 1 e x ≥ 10} {x │10 ≤ x < 118}

Exercícios de probabilidade Exemplo 2 Amostras do plástico policarbonato são analisadas com relação à resistência a arranhões e a choque. Os resultados de 49 amostras estão resumidas a seguir: Resistência a choque Alta Baixa Resistência a arranhão 40 4 2 3 Faça A denotar o evento em que uma amostra tem alta resistência a choque e faça B denotar o evento em que a amostra tem alta resistência a arranhões. Determine o número de amostras em A ∩ B, A e A U B. Resposta: O evento A ∩ A consiste em 40 amostras para as quais as resistências a arranhões e choques são altas. O evento A consiste nas 7 amostras em que a resistência a choques é baixa O evento A U B consiste nas 46 amostras em que a resistência a choques, a resistência a arranhões ou ambas são altas.

Exercícios de Eventos Exemplo 3

Exercícios de Eventos R1 R2 R3 x y x + y Exemplo 3 A ∩ B

Exercícios de Eventos CONSERTAR R1 R2 R3 x y x + y Exemplo 3 A U B

Exercícios de Eventos R1 R2 R3 x y x + y Exemplo 3 A ∩ C = Ø

Definições de Probabilidade Há diferentes maneiras de definir probabilidade Probabilidade Abordagem clássica (requer resultados igualmente prováveis) Probabilidades subjetivas Aproximação pela frequência relativa (frequencial) Também chamada de a priori Também chamada de empírica ou a posteriori

Definições de Probabilidade: Clássica ou a priori Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), no contexto dos jogos de azar Suponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples, e que cada um desses eventos simples tenha igual chance de ocorrer. Se o evento A pode ocorrer em m dessas maneiras, então a probabilidade do evento A é dada por: Em outros termos : P(A) = No de maneiras como o evento A pode ocorrer Número de eventos simples Número de casos favoráveis ao evento A Número de casos possíveis

Definições de Probabilidade: Clássica ou a priori Exemplos: Um dado homogêneo tem probabilidade 1/6 de cair com a face 5 para cima Em um conjunto de cartas (sem os coringas) bem embaralhadas a probabilidade de sortearmos uma carta de copas é de 13/52 Impossibilidade de acomodar o cenário em que os resultados do experimento não sejam equiprováveis Não contemplação de espaços amostrais infinitos Limitações

Definições de Prob.: frequencial ou a posteriori Mais abrangente e, geralmente, atribuída ao matemático austríaco Richard von Mises (1883-1953) Se algum processo é repetido um grande número de vezes, n, sob condições rigorosamente idênticas, e se o evento A ocorre m vezes, a frequência relativa m/n é aproximadamente igual à probabilidade de A: Obs.: m/n é apenas uma estimativa de P(A).  

Definições de Prob.: frequencial ou a posteriori Exemplo: probabilidade do resultado ‘cara’, em função do número de lançamentos de uma moeda, em relação à qual, nenhuma suposição inicial é feita quão grande deve ser o valor de n para uma estimativa adequada de P(A)? impossibilidade física de se repetir um experimento infinitamente, sob condições rigorosamente idênticas Limitações

Definições de Probabilidade: subjetiva Nem a definição a priori ou a definição a posteriori podem acomodar a noção de probabilidade subjetiva Decorre da atribuição de uma ponderação relativa a um evento, com base na experiência ou julgamento pessoal de um especialista Exemplo: um engenheiro geotécnico pode usar de sua experiência técnica para atribuir uma probabilidade subjetiva de ocorrência de fraturas na rocha sobre a qual se apoia uma barragem de gravidade Tais inconsistências motivaram a formulação de probabilidade como uma função que se comporta de acordo com um determinado conjunto de postulados ou axiomas  matemática

No de vezes com a ponta para cima/ No total de lançamentos Definições de Probabilidade Exemplos clássica P (sair o no 2 em um dado balanceado e imparcial) = ? Achar a razão: No de maneiras como 2 pode ocorrer/ No total de eventos simples = 1/6 Frequência relativa P (tachinha cair com a ponta para cima) = ? Deve-se repetir o experimento de jogar a tachinha várias vezes e então, achar a razão No de vezes com a ponta para cima/ No total de lançamentos Subjetiva P (chover amanhã) = ? Meteorologistas possuem conhecimento especializado para esta estimativa

Definições de Probabilidade: axiomática Formulada em 1933 pelo matemático russo Andrei Kolmogorov A probabilidade de um evento A, contido em um espaço amostral S, é um número não negativo, denotado por P(A), que satisfaz as seguintes condições: 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(S) =1 Para qualquer sequência de eventos mutuamente excludentes E1,E2, ... , a probabilidade da união desses eventos é igual à soma das respectivas probabilidades individuais, ou seja,   P ( E1 U E2 U E3 U ...) = P(E1) + P(E2) + P(E3) + ...

Aula 06 Probabilidade Propriedades básicas: regra da adição Propriedades básicas: regra da multiplicação Probabilidade condicional e independência estatística Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes

Propriedades Básicas ? Você concorda que falar 0,5 1 Evento certamente não ocorrerá ocorrerá Máxima incerteza Evento impossível Evento certo P ( E1 U E2 U E3 U ...) = P(E1) + P(E2) + P(E3) + ... Você concorda que falar É o mesmo que falar ?

Propriedades Básicas Consequências P(Ac) = 1 – P(A) P(Ø) = 0 Se A e B são dois eventos no espaço amostral e A C B, então P(A) ≤ P(B) Para qualquer evento A, P(A) ≤ 1 Se A1,A2, ... , Ak são eventos definidos em um espaço amostral, então, Se A e B são dois eventos no espaço amostral, então, P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B). Essa é a chamada regra da adição de probabilidades    desigualdade de Boole

Propriedades Básicas Exemplo 4 Ache a probabilidade de que, quando um casal tem 3 filhos, exatamente 2 deles sejam meninos. Suponha que meninos (M) e meninas (F) sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança não seja influenciado pelo sexo de qualquer outra criança 1º 2º Resultados possíveis 3º menino-menino-menino menino-menino-menina menino-menina-menino menino-menina-menina menina-menino-menino menina-menino-menina menina-menina-menino menina-menina-menina M M Espaço amostral M M M M M

Propriedades Básicas Exemplo 4 Ainda no exemplo anterior, qual a probabilidade de não nascer exatamente 2 meninos? 1º 2º Resultados possíveis 3º menino-menino-menino menino-menino-menina menino-menina-menino menino-menina-menina menina-menino-menino menina-menino-menina menina-menina-menino menina-menina-menina M M Espaço amostral M M M M M

Propriedades Básicas: regra da adição Estamos interessados na probabilidade de que ou o evento A ocorre ou o evento B ocorre (ou ambos ocorrem) com um único resultado de um experimento Palavra – chave  ou Evento composto É qualquer evento combinando 2 ou mais eventos simples Notação P(A ou B ) = P(evento A ocorrer ou o evento B ocorrer ou ambos ocorrem)

Propriedades Básicas: regra da adição Amostra de ervilhas, semelhante ao experimento de Mendel Quantas delas têm vagem verde ou flor roxa?

P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) Propriedades Básicas: regra da adição P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) Ao calcular a probabilidade da ocorrência do evento A ou da ocorrência do evento B, ache o no total de maneiras em que A pode ocorrer e o no total de maneiras em que B pode ocorrer, mas ache o total de modo que nenhum resultado seja contado mais de uma vez Simplificação para evento disjuntos P(A  B) = P(A) + P(B)

P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C)- P(AB)- P(AC)-P(BC)+P(ABC) Propriedades Básicas: regra da adição A B Três eventos C P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C)- P(AB)- P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Exercícios de probabilidade Um fabricante de automóveis fornece veículos equipados com opcionais selecionados. Cada veículo é ordenado: Com ou sem transmissão automática; Com ou sem ar condicionado; Com um das três escolhas de um sistema de som; Com uma das quatro cores exteriores. Se o espaço amostral consistir no conjunto de todos os tipos possíveis de veículos, qual será o número de resultados no espaço amostral? Resposta: O espaço amostral contém 48 resultados. (2 x 2 x 3 x 4 = 48)

Exercícios de probabilidade Três eventos são mostrados no diagrama abaixo. Reproduza a figura e sombreie a região que corresponde a cada um dos seguintes eventos: A A ∩ B (A ∩ B) U C (B U C) B A C

Proporção de Pastilhas Exercícios de probabilidade Exercício 3 Uma inspeção visual de um local produtor de pastilhas provenientes de um processo de fabricação de semicondutores resultou na seguinte tabela: No Partículas Proporção de Pastilhas 0,40 1 0,20 2 0,15 3 0,10 4 0,05 5 ou mais Qual probabilidade de uma pastilha selecionada ao acaso não conter partículas? Qual a probabilidade de uma pastilha conter 3 ou mais partículas? Qual a probabilidade de uma pastilha conter 0 ou mais de 3 partículas? Resposta: P(0) = 0,40 P(3) + P(4) + P(5 ou mais) = 0,10 + 0,05 + 0,10 = 0,25 P(0) + P(4) + P(5 ou mais) = 0,40 + 0,05 + 0,10 = 0,55

Centro de ferramenta de produzir faísca Exercícios de probabilidade Exercício 4 A tabela abaixo lista a história de 940 pastilhas em um processo de fabricação e semicondutores. Suponha que uma pastilha seja selecionada, ao acaso, da tabela. Faça A denotar o evento em que a pastilha contenha altos níveis de contaminação. Faça B denotar o evento em que a pastilha esteja no centro de uma ferramenta de produzir faísca. Faça E ser o evento em que a pastilha não seja proveniente do centro da ferramenta de produzir faísca nem contenha altos níveis de contaminação. Calcule: P(A); P(B); P(A ∩ B); P(A U B); P(E). Centro de ferramenta de produzir faísca Não Sim Alta contaminação 514 68 112 246

Exercícios de probabilidade Resposta: P(A) = 358/940 = 0,381 P(B) = 314/940 = 0,334 P(A ∩ B) = 246/940 = 0,262 P(A U B)=P(A)+P(B) - P(A ∩ B)= 358/940 + 314/940 – 246/940 = 426/940 = 0,453 P(E) = P (A U B)c = 1 – P(A U B) = 1 – 426/940 = 514/940 = 0,547

Exercícios de probabilidade Em uma operação em uma máquina, faça x denotar o comprimento de uma peça e suponha que para: 10% das peças, x ≤ 7,55 mm; 15% das peças, 7,55 < x ≤ 7,57 mm; 25% das peças, 7,57 < x ≤ 7,59 mm. Se uma das peças for selecionada dessa operação, qual será a probabilidade de ela ser menor ou igual a 7,59 mm? Resposta: E1 = 10% das peças, x ≤ 7,55 mm E2 = 15% das peças, 7,55 < x ≤ 7,57 mm E3 = 25% das peças, 7,57 < x ≤ 7,59 mm P(E1 U E2 U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) = 0,10 + 0,15 + 0,25 = 0,50

P(A ∩ B ) Notação Propriedades Básicas: regra da multiplicação Estamos interessados na probabilidade de o evento A acontecer em uma primeira prova e o evento B ocorrer em uma segunda prova Palavra – chave  e Notação P(A e B ) = P(evento A ocorrer na primeira prova e evento B ocorrer na segunda prova) P(A ∩ B )

Vamos supor que as respostas corretas sejam V e c Propriedades Básicas: regra da multiplicação Exemplo 5 Supor que em um teste temos duas questões: a 1ª é verdadeiro ou falso e a 2ª possui 5 alternativas (a, b, c, d, e). Qual a probabilidade de que, se uma pessoa responde aleatoriamente as ambas as questões, a 1ª resposta esteja certa e a 2ª resposta esteja certa? Vamos supor que as respostas corretas sejam V e c Queremos P(V e c)

Exemplo 5 Propriedades Básicas: regra da multiplicação 1ª 2ª Resultados possíveis e a b c d Va Vb Vc Vd Ve V Vc Espaço amostral e a b c d Fa Fb Fc Fd Fe F 2 x 5 = 10

Propriedades Básicas: regra da multiplicação Se vocês prestaram a atenção no exemplo P(V) P(c) P(V e C) = P(V) . P(c) Este problema foi resolvido com o auxílio de um diagrama de árvore porque o no de resultados possíveis não foi muito grande Acertar a 2ª questão depende de ter acertado a 1ª ?

P(pelo menos um ) = 1 - P(nenhum) Propriedades Básicas: regra da multiplicação Pelo menos 1 ... Para achar a probabilidade de pelo menos um de alguma coisa, calcule a probabilidade de nenhum, então subtraia o resultado de 1 P(pelo menos um ) = 1 - P(nenhum) Ache a probabilidade de que, entre várias provas, pelo menos uma forneça um resultado especificado

Exemplo 6 Propriedades Básicas: regra da multiplicação Ache a probabilidade de uma casal ter, pelo menos, 1 menina entre 3 crianças. Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança seja independente do sexo de qualquer outro irmão ou irmã Seja A = pelo menos 1 das 3 crianças é menina Evento complementar: = não obter pelo menos 1 menina em 3 crianças = todas as 3 crianças são meninos = menino, menino, menino menino-menino-menino menino-menino-menina menino-menina-menino menino-menina-menina menina-menino-menino menina-menino-menina menina-menina-menino menina-menina-menina

Prob. condicional e independência estatística A probabilidade de que ocorra um terremoto com intensidade 7 na escala Richter nas próximas 48 horas, é certamente alterada pelo fato de que ocorreu um terremoto com intensidade 6 na escala Richter no dia anterior A probabilidade de que a vazão média de uma bacia irá superar 50 m3/s, nas próximas 6 horas, é certamente alterada pelo fato de que ela já superou 20 m3/s

Prob. condicional e independência estatística Ideia  intimamente relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar ou não a probabilidade de ocorrência de outro evento Supor população com n indivíduos e suponha dois eventos: A: o indivíduo é do sexo feminino B: o indivíduo é daltônico Pode-se definir P(A) = nA / n e P(B) = nB / n Qual a probabilidade de ser daltônico dentro da população feminina ou seja Dividindo os dois lados por n  P (B | A)  lê-se “P de B dado A”

Prob. condicional e independência estatística Probabilidade condicional  calculada não mais a partir de S, e sim a partir de um subconjunto de S A  indivíduo do sexo feminino e B  indivíduo daltônico Probabilidade de ser feminino dentro da população de daltônicos

P(A  B) = P(A) . P(B|A) Prob. condicional e independência estatística Ao calcular a probabilidade de ocorrência do evento A em uma prova e do evento B na prova seguinte, multiplique a probabilidade do evento A pela a probabilidade do evento B, mas certifique-se de que a probabilidade do evento B leva em conta a ocorrência prévia do evento A

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 7 da genética Se 2 ervilhas são escolhidas aleatoriamente sem reposição ... Qual a Prob. de que a 1ª tenha vagem verde e 2ª amarela?

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 7 da genética Há 14 ervilhas, 8 das quais têm vagem verde 1ª seleção: Restam 13 ervilhas, 6 das quais têm vagem amarela

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 7 da genética Restam 13 ervilhas, 6 das quais têm vagem amarela 2ª seleção:

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 8 Um grupo de pessoas inclui 40 com diploma de curso superior, 20 microempresários e 10 que são, ao mesmo tempo, portadores de diploma do curso superior e microempresários. Calcule a probabilidade de alguém ser microempresário sabendo que ele tem diploma de curso superior. Sejam os eventos: A  pessoa tem diploma de curso superior B  pessoa é um microempresário P(A) = 40/50 , P(B) = 20/50 e P(A ∩ B) = 10/50

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 8 Considere o evento: a pessoa é microempresária e sabe-se que ela tem diploma de curso superior A Prob. deste evento é diferente da Prob. da pessoa ser microempresária  o espaço amostral não consiste mais nas 50 pessoas originais, mas apenas naquelas que possuem diploma de curso superior

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 9 Em uma amostra de 100 funcionários de uma empresa: 35 são homens e fumantes, 28 são homens e não fumantes, 17 são mulheres e fumantes, 20 são mulheres e não fumantes. Qual a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso ser fumante, considerando que ele seja homem? Sejam os eventos: A = o funcionário é fumante e B = o funcionário é homem Quando definimos que o evento B ocorreu (o funcionário é homem), restringimos o espaço amostral à ocorrência do evento A (o funcionário é fumante)

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 9

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 9 O novo universo passa a ser o próprio evento B Utilizando o número de elementos de cada conjunto: P(A | B) = 35/63 = 0,556 Ou empregando a expressão da definição: P(B) = 63/100 = 0,63 P(A ∩ B) = 35/100 = 0,35 P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0,35/0,63 = 0,556

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 10 Ao serem lançados dois dados equilibrados sobre uma mesa, calcule a probabilidade de a soma das duas faces ser 8, sabendo que ocorre face 3 no primeiro dado Sejam os eventos: A = a soma das duas faces é 8 B = ocorre face 3 no primeiro dado Total de resultados possíveis no lançamento dos dois dados: 6 x 6 = 36 A = { (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) } B = { (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6) } (3;5)

U U Prob. condicional e independência estatística Se A e B são disjuntos A B Se B A U A B Caso geral B A Se A B U B A

Prob. condicional e independência estatística Regra da Multiplicação (de volta) Uma vez que e Probabilidade condicional inversa, o que é útil quando uma delas for difícil de calcular

Prob. condicional e independência estatística Se A e B são eventos independentes, a ocorrência de B não traz qualquer informação adicional sobre A Informalmente falando, um evento não tem “nada a ver” com o outro!

Dois eventos A e B são independentes quando se verifica: Prob. condicional e independência estatística Dois eventos A e B são independentes quando se verifica: e Portanto, se A e B são eventos independentes vale: Resumindo P(A│B) = P(A) P(B│A) = P(B) P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 11 A tabela abaixo descreve a história de 84 amostras de ar, com base na presença de duas moléculas raras. Faça A denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 1 e B denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 2. Calcule P(B) e P(B│A). Molécula 1 Não Sim Molécula 2 32 24 16 12 P(B) = 28 / 84 = 0,333 P(A) = 36 / 84 = 0,428 P(B│A) = P(A ∩ B)/P(A) = (12/84)/0,428 = 0,333 P(A ∩ B) = P(A).P(B) = 0,428.0,333 = 0,142 ou P(A ∩ B) = 12/84 = 0,142

Prob. condicional e independência estatística E se A e B são mutuamente exclusivos ... são também independentes? Suponha P(B) > 0 Mas Suponha P(A) > 0 Mas

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 12 Se P(A) = 0,35 , P(B) = 0,8 e P(A∩B) = 0,28, A e B são independentes? P(A).P(B) = 0,35.0,8 = 0,28 Como P(A).P(B) = P(A∩B), A e B são independentes Exemplo 13 Se P(A|B) = 0,4 , P(B) = 0,8 e P(A) = 0,6, os eventos A e B são independentes? Uma vez que P(A|B) ≠ P(A), os eventos não são independentes

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 14 Se P(A) = 0,2 e P(B) = 0,2 e se os eventos A e B forem mutuamente excludentes, eles serão independentes? Se A e B são mutuamente excludentes  P(A∩B) = 0 Por outro lado, P(A∩B) = P(A).P(B|A) Assim, se forem independentes  P(A∩B) = P(A).P(B) = 0 Mas como P(A).P(B) = 0,04 ≠ 0  os eventos A e B não são independentes Pelo menos um deles teria que ter probabilidade nula

Prob. condicional e independência estatística Exemplo 15 Tomou-se uma amostra com 1000 pessoas em um shopping-center com o objetivo de investigar a relação entre a renda familiar e a posse de cartões de crédito. A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se: existe independência entre “renda” e “posse de cartões de crédito”?

Prob. condicional e independência estatística Se existe independência entre as duas variáveis, então: P(Ai∩Bj) = P(Ai).P(Bj) para todos i e j Onde Ai indica o nível de renda e Bj o número de cartões de crédito Logo, basta provar que a igualdade acima não é válida para ALGUMA célula na tabela para concluir que as duas variáveis são dependentes

Prob. condicional e independência estatística Se olharmos para a célula superior esquerda vemos que: P(renda abaixo de R$500 E nenhum cartão) = 260/1000 = 0,26 Mas: P(renda abaixo de R$500) = 330/1000 = 0,33 P(nenhum cartão) = 530/1000 = 0,53 Ora, como 0,33.0,53 = 0,17 (≠0,26), segue-se que as variáveis renda familiar e número de cartões de crédito são dependentes

Teorema da Probabilidade Total Vamos dividir (partir) o espaço amostral abaixo em vários pedaços Qual é o conjunto ? B1 S Qual é o conjunto ? B2 B3 B4 B5 Qual é o conjunto ? Qual é o conjunto ?

Teorema da Probabilidade Total Um conjunto de eventos {Bi}, i = 1,..., n constitui uma partição do espaço amostral E quando satisfaz as duas condições a seguir: Os eventos que compõem uma partição são - mutuamente exclusivos e, - quando unidos, englobam todo o espaço amostral

P(E1 U E2 U ... U Ek) = P(E1) + P(E2) + ... + P(Ek) Teorema da Probabilidade Total Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então: P(A U B) = P(A) + P(B) P(E1 U E2 U ... U Ek) = P(E1) + P(E2) + ... + P(Ek) A B E1 E2 E4 E3

Teorema da Probabilidade Total S Ac B Como posso escrever P(B)? A ∩ B Ac ∩ B B = (A ∩ B) U (Ac ∩ B) P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B) P(B) = P(A).P(B│A) + P(Ac).P(B│Ac) Regra da probabilidade total para dois eventos quaisquer A e B

P(B) = P(B│E1).P(E1) + P(B│E2).P(E2) + ... + P(B│Ek).P(Ek) Teorema da Probabilidade Total Para uma situação representada pelo diagrama ... E1 E2 E3 Ek B ∩ E1 B B ∩ E2 ... B ∩ Ek P(B) = P(B│E1).P(E1) + P(B│E2).P(E2) + ... + P(B│Ek).P(Ek) B  evento de interesse E1, E2, ..., Ek prováveis causas

Teorema da Probabilidade Total Exemplo 16 Na fabricação de semicondutores, seja 0,10 a probabilidade de que um chip que esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. A probabilidade é de 0,005 de um chip que não esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto. Em uma corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto usando um desses chips venha a falhar? Faça F denotar o evento em que o produto falhe e faça A denotar o evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação. A Ac F F ∩ Ac F ∩ A

P (F│A) = 0,10 P (F│Ac) = 0,005 P (A) = 0,20 P (Ac) = 0,80 Teorema da Probabilidade Total Exemplo 16 20% 80% F evento em que o produto falhe; A evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação; Ac evento em que o chip não está exposto a altos níveis de contaminação P (F│A) = 0,10 P (F│Ac) = 0,005 P (A) = 0,20 P (Ac) = 0,80 P(F) = P (F│A).P(A) + P (F│Ac).P(Ac) = 0,10 . 0,20 + 0,005 . 0,80 = 0,024

Teorema da Probabilidade Total Exemplo 16 Visualização do problema  facilitada pelo uso do seu correspondente diagrama em árvore Cada avanço por 1 ramo  multiplicação F|A Somam-se os resultados dos caminhos (avanços) 0,10 Fc|A 0,20 A Ac 0,80 F|Ac 0,005 Fc|Ac

P(F) = P(F│H).P(H) + P(F│M).P(M) + P(F│L).P(L) Teorema da Probabilidade Total Exemplo 17 Continuando com o exemplo da fabricação de semicondutores, considere que a probabilidade seja: 0,1 de que um chip sujeito a níveis altos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto; 0,01 de que um chip sujeito a níveis médios de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto; 0,001 de que um chip sujeito a níveis baixos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. Em corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a níveis altos de contaminação, 30% a níveis médios de contaminação e 50% a níveis baixos de contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto, usando um desses chips, falhe? H é o evento em que um chip seja exposto a níveis altos de contaminação; M é o evento em que um chip seja exposto a níveis médios de contaminação; L é o evento em que um chip seja exposto a níveis baixos de contaminação; P(F) = P(F│H).P(H) + P(F│M).P(M) + P(F│L).P(L) P(F) = 0,10.0,20 + 0,01.0,30 + 0,001.0,50 P(F) = 0,0235

Teorema de Bayes no problema do semicondutor, Thomas Bayes (1702-1761) no problema do semicondutor, podemos querer saber: se o chip semicondutor no produto falhar, qual a probabilidade de que ele tenha sido exposto a altos níveis de contaminação? antes queríamos saber qual a probabilidade de falhar. Agora, falhando , queremos saber uma probabilidade associada a uma origem da falha  procurando saber a causa

P(A) = P(A│B1).P(B1) + P(A│B2).P(B2) + ... + P(A│B6).P(B6) Teorema de Bayes P(A) = P(A│B1).P(B1) + P(A│B2).P(B2) + ... + P(A│B6).P(B6) mas

Teorema de Bayes Probabilidades a priori  valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja obtida qualquer informação adicional Probabilidades a posteriori  valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação adicional obtida posteriormente

Teorema de Bayes Exemplo 18 Uma fábrica tem três máquinas, A, B e C, que respondem, respectivamente, por 40%, 35% e 25% de sua produção. A proporção de peças defeituosas na máquina A é de 2%, essa proporção é de 1% para a máquina B e de 3% para a máquina C. Toma-se uma peça ao acaso. É defeituosa. Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B?

Teorema de Bayes Exemplo 18 E A i d B C Chamemos de B o evento fabricado pela máquina B, e de d o evento defeituosa  Queremos, dessa forma, a probabilidade P(B|d) E A i i  intacta i = d d B C

Teorema de Bayes Exemplo 18 E A A ∩ d B ∩ d C ∩ d i d B C

Teorema de Bayes d ∩ A d ∩ B d ∩ C d = (d ∩ A)U(d ∩ B)U(d ∩ C) P(d) = P(d∩A)+P(d∩B)+P(d∩C) = = P(d|A).P(A)+P(d|B).P(B)+ + P(d|C).P(C) Por outro lado:

Teorema de Bayes d ∩ A d ∩ B d ∩ C

Teorema de Bayes d A B C 0,40 0,35 0,25 i 0,02 0,98 0,01 0,99 0,03 0,97 Cada avanço por 1 ramo  multiplicação Somam-se os resultados dos caminhos (avanços)

Somatório em todas as partições Teorema de Bayes Uma coisa interessante na fórmula do Teorema de Bayes: Partição de interesse Somatório em todas as partições

Teorema de Bayes Sem o uso do diagrama, temos que reconhecer que queremos a probabilidade P(B|d): Reconhecer também que a peça defeituosa pode provir (origem do problema) de qualquer uma das três máquinas (e só de uma). Em seguida, aplica-se a fórmula do Teorema de Bayes:

Teorema de Bayes Exemplo 19 Um transmissor de localização de emergência de uma aeronave (TLE) é um aparelho projetado para transmitir um sinal no caso de queda. A Altigauge Manufacturing Company faz 80% dos TLEs, a Bryant Company faz 15% deles, e a Chartair Company faz os outros 5%. Os TLEs feitos pela Altigauge têm taxa de defeituosos de 4%, os da Bryant têm taxa de defeituosos de 6%, e os da Chartair, taxa de 9% (o que ajuda a explicar por que a Chartair tem a menor fatia do mercado). Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população original de todos os TLEs, ache a probabilidade de que tenha sido fabricado pela Altigauge Manufacturing Company; Se um TLE é selecionado aleatoriamente e testado e se verifica que é defeituoso, ache a probabilidade de ele ter sido fabricado pela Altigauge Manufacturing Company.

Teorema de Bayes Exemplo 19 A = TLE fabricado pela Altigauge  P(A) = 0,80 B = TLE fabricado pela Bryant  P(B) = 0,15 C = TLE fabricado pela Chartair  P(C) = 0,05 D = TLE é defeituoso D = TLE não é defeituoso (ou é bom) E A B C D

Teorema de Bayes Exemplo 20 a) Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população geral de todos os TLEs, a probabilidade de ter sido fabricado pela Altiguage é 0,8 (porque a Altigauge fabrica 80% deles). b) Se sabemos agora que o TLE foi testado e é defeituoso, desejamos revisar a probabilidade da parte (a) de modo que a nova informação possa ser usada. Desejamos encontrar o valor de P(A│D), que é a probabilidade de que o TLE tenha sido fabricado pela Altigauge, dado que é defeituoso. Com base na informação dada, sabemos estas probabilidades. P(D│A) = 0,04 Taxa de defeituosos da Altigauge é de 4% P(D│B) = 0,06 Taxa de defeituosos da Bryant é de 6% P(D│C) = 0,09 Taxa de defeituosos da Chartair é de 9%

Teorema de Bayes Exemplo 20 P(D) = 0,0455 D|A A B C 0,80 0,15 0,05 D|B D|C 0,04 0,06 0,09 0,8.0,04 = 0,032 0,15.0,06 = 0,009 0,05.0,09 = 0,0045 D|A D|B D|C

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Resumo Regra da adição E A A ∩ B B A P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) B E Se A e B eventos mutuamente excludentes: P(A U B) = P(A) + P(B)

Resumo Regra da multiplicação estatisticamente independentes P(A ∩ B) = P(A) . P(B) estatisticamente independentes Probabilidade condicional A B A ∩ B E B faz o papel do espaço amostral A B A ∩ B A faz o papel do espaço amostral

Resumo A Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Partição do espaço amostral {Bj}, j = 1,..., m A P(Bj) > 0 para todo j. Seja A um evento com P(A) > 0 Teorema de Bayes