PRODUTO ESCALAR DE VETORES

Ângulo formado por dois vetores 𝑢 𝑣 𝛼 𝑂 O ângulo dos vetores 𝑢 e 𝑣 é o ângulo 𝛼 definido por representantes de cada um dos vetores com a mesma origem e representa-se por 𝑢 , 𝑣 . Notas: 0≤ 𝑢 , 𝑣 ≤180° No modo de apresentação, clique na lupa para ver a imagem respetiva num tamanho maior. Se 𝑢 e 𝑣 tiverem o mesmo sentido: 𝑢 , 𝑣 =0 Se 𝑢 e 𝑣 tiverem sentidos contrários: 𝑢 , 𝑣 =180°

Produto escalar de dois vetores (projeção ortogonal) Considera 𝑢 e 𝑣 dois vetores, de representantes 𝑂𝑃 e 𝑂𝑄 e seja 𝑄’ a projeção ortogonal de 𝑄 na reta 𝑂𝑃. Se 𝑢 ≠0 e 𝑣 ≠0, então o produto escalar (ou interno) de 𝑢 e 𝑣 , 𝒖 ∙ 𝒗 , é o número: 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝑶𝑷 × 𝑶𝑸′ , se 𝑂𝑃 e 𝑂𝑄′ tiverem o mesmo sentido. 𝒖 ∙ 𝒗 =− 𝑶𝑷 × 𝑶𝑸′ , se 𝑂𝑃 e 𝑂𝑄′ tiverem sentidos contrários. No modo de apresentação, clique na lupa para ver a imagem respetiva num tamanho maior.

Produto escalar de dois vetores Dados dois vetores 𝑢 e 𝑣 , não nulos, 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖 × 𝒗 × 𝐜𝐨𝐬 𝒖 , 𝒗 Propriedades do produto escalar: cos 𝑢 , 𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 ∙ 𝑢 = 𝑢 2 𝑢 ∙ 𝑣 >0⟺0≤ 𝑢 , 𝑣 <90° 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢 𝑢 ∙ 𝑣 <0⟺90°< 𝑢 , 𝑣 ≤180° 𝜆 𝑢 ∙ 𝑣 =𝜆 𝑢 ∙ 𝑣 𝑢 ∙ 𝑣 =0⟺ 𝑢 ⊥ 𝑣 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑢 ∙ 𝑤 + 𝑣 ∙ 𝑤

Exemplo 1 Considera os vetores 𝑢 , 𝑣 , tais que 𝑢 =3, 𝑣 =4 e ( 𝑢 , 𝑣 )=45°. Determina o produto escalar 2 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑣 . Sugestão de resolução: 3×4 × cos 45° =12 × 2 2 =6 2 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 × 𝑣 × cos 𝑢 , 𝑣 = 2 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑣 = (2 𝑢 ) ∙ 𝑣 + 𝑣 ∙ 𝑣 = 2 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑣 2 = =2×6 2 + 4 2 =12 2 +16

Ângulo entre duas retas concorrentes O ângulo 𝛼 entre duas retas concorrentes é o menor ângulo por elas formado. 𝟎°<𝜶≤𝟗𝟎° Seja 𝛼 a amplitude do ângulo entre duas retas 𝑟 e 𝑠, então: 𝐜𝐨𝐬 𝜶= 𝒓 ∙ 𝒔 𝒓 𝒔 onde 𝑟 e 𝑠 são vetores diretores de 𝑟 e 𝑠, respetivamente.

Produto escalar através das coordenadas No plano, 𝑢 𝑢 1 , 𝑢 2 e 𝑣 𝑣 1 , 𝑣 2 : 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖 𝟏 ×𝒗 𝟏 + 𝒖 𝟐 × 𝒗 𝟐 No espaço, 𝑢 𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 e 𝑣 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 : 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖 𝟏 ×𝒗 𝟏 + 𝒖 𝟐 × 𝒗 𝟐 + 𝒖 𝟑 × 𝒗 𝟑 Exemplos: 1. Considera os vetores do plano 𝑢 2, 5 e 𝑣 −3, 1 . 𝑢 ∙ 𝑣 =2× −3 +5×1=−1 2. Considera os vetores do espaço 𝑢 2, 5, 1 e 𝑣 −3, 1, 2 . 𝑢 ∙ 𝑣 =2× −3 +5×1+1×2 =1

Vetores perpendiculares no plano No plano, obtemos um vetor perpendicular a um vetor dado trocando-lhe as coordenadas e trocando o sinal a uma delas. Exemplo: Vetores perpendiculares ao vetor 𝑢 2, 3 : −3, 2 , 3,−2 , 6,−4 , por exemplo. Retas perpendiculares Duas retas de declives 𝑚 e 𝑚 ′ são perpendiculares ⟺ 𝑚 ×𝑚 ′ =−1

Vetores perpendiculares no espaço No espaço, para obtermos um vetor perpendicular a um vetor dado, consideramos uma das coordenadas igual a zero e trocamos entre si as outras duas coordenadas, bem como o sinal de uma delas. Exemplo: Vetores perpendiculares ao vetor 𝑢 2, 3,−5 : −3, 2, 0 , −5, 0,−2 , 0, 5, 3 , por exemplo.

é o lugar geométrico dos pontos 𝑃(𝑥,𝑦) tais que 𝑴𝑷 ∙ 𝑨𝑩 =𝟎 Lugares geométricos no plano Mediatriz do segmento de reta 𝑨𝑩 é o lugar geométrico dos pontos 𝑃(𝑥,𝑦) tais que 𝑴𝑷 ∙ 𝑨𝑩 =𝟎 sendo 𝑀 o ponto médio de 𝐴𝐵 . 𝑃 𝐴 𝐵 𝑀 Exemplo: Considera os pontos 𝐴(1, 2) e 𝐵(3, 8). O ponto médio de 𝐴𝐵 é 𝑀= 1+3 2 , 2+8 2 = 2, 5 . 𝑀𝑃 ∙ 𝐴𝐵 =0⇔ (𝑥−2,𝑦−5)∙ 2,6 =0 ⇔2 𝑥−2 +6(𝑦−5) =0 ⇔𝑦 =− 1 3 𝑥+ 17 3 ⇔2𝑥−4+6𝑦−30 =0 equação reduzida da mediatriz de 𝑨𝑩

Lugares geométricos no espaço

Lugares geométricos no plano 𝑃 𝐴 𝐵 Circunferência de diâmetro 𝑨𝑩 é o lugar geométrico dos pontos 𝑃(𝑥,𝑦) tais que: 𝑨𝑷 ∙ 𝑩𝑷 =𝟎 Exemplo: Considera os pontos 𝐴(1, 2) e 𝐵(3, 8). 𝐴𝑃 ∙ 𝐵𝑃 =0⇔ (𝑥−1,𝑦−2)∙ 𝑥−3,𝑦−8 =0 ⇔ 𝑥−1 𝑥−3 +(𝑦−2)(𝑦−8) =0 No modo de apresentação, clique na lupa para ver um gif animado deste lugar geométrico. ⇔ 𝑥 2 −4𝑥+3+ 𝑦 2 −10𝑦+16 =0 ⇔ 𝑥 2 −4𝑥+ 2 2 + 𝑦 2 −10𝑦+ 5 2 =−3−16+ 2 2 + 5 2 ⇔ 𝑥−2 2 + 𝑦−5 2 =10 equação reduzida da circunferência de diâmetro 𝑨𝑩

Lugares geométricos no espaço

Lugares geométricos no plano 𝑃 𝐶 𝑇 𝑡 A reta tangente à circunferência de centro 𝐶 no ponto 𝑇 é o lugar geométrico dos pontos 𝑃(𝑥,𝑦) tais que: 𝑪𝑻 ∙ 𝑻𝑷 =𝟎 Exemplo: Considera a circunferência de centro 𝐶(1, 2) e que passa em 𝑇(3, 8). 𝐶𝑇 ∙ 𝑇𝑃 =0⇔ (2, 6)∙ 𝑥−3,𝑦−8 =0 ⇔2 𝑥−3 +6(𝑦−8) =0 No modo de apresentação, clique na lupa para ver um gif animado deste lugar geométrico. ⇔𝑦 =− 1 3 𝑥+9 ⇔2𝑥−6+6𝑦−48 =0 equação reduzida da reta tangente à circunferência de centro 𝑪 no ponto 𝑻

Lugares geométricos no espaço