Robótica Prof. Reinaldo Bianchi 2012

8a Aula Parte A

Objetivos desta aula Controle de de Robôs manipuladores: Relembrando controle Controle por Linear por Posição Controle não linear Controle por Força. Capítulos 7, 9 e 11 do Livro do Craig.

Introdução

Controle de Manipuladores Com o que já foi visto, agora temos os meios para calcular o histórico das posições de juntas que correspondem a movimentos desejados do manipulador. Começamos agora a discutir como fazer com que o manipulador realmente executar esses movimentos desejados.

Controle Linear de Manipuladores Controle Linear = o mais simples. A utilização de técnicas de controle linear é válida somente quando o sistema em estudo pode ser modelado por equações diferenciais lineares. Mas a dinâmica dos manipuladores é não linear… Controle linear é uma aproximação… Muito usada na prática industrial.

Controle por realimentação Controlando um manipulador por feedback.

Controle por realimentação Um manipulador pode ser modelado como um mecanismo: com sensores em cada junta para medir o ângulo e um atuador em cada junta para aplicar um torque sobre o elo vizinho (próximo superior). Corresponde à maioria dos manipuladores industriais.

Controle por realimentação Visto que desejamos que as articulações sigam uma trajetória prescrita, mas os atuadores são comandados em termos de torque, temos de utilizar algum tipo de sistema controIe para calcular os comandos que vão realizar o movimento desejado: Feedback control!

Definindo o controle O robô tem como entrada um vetor de torques das juntas, , vindo do sistema de controle. Os sensores do manipulador permitem ao controlador ler um vetor de posições de juntas, , e de velocidades, . Todos os sinais na figura representam vetores N x 1 (onde N é o número de juntas).

Sistema de controle

Bloco de controle Que algoritmo pode ser implementado no bloco “control system”? Podemos utilizar as equações do movimento, tratadas na aula de dinâmica, para relacionar posição, velocidades e acelerações com o torque:

Basta isso? Basta utilizar a equação do movimento para controlar o manipulador? Infelizmente não… Então, precisamos relembrar teoria de controle…

Relembrar é viver…

Sistemas Lineares de segunda ordem Antes de considerar o problema de controle manipulador, vamos relembrar um sistema mecânico de simpIes: Sistema massa-mola A figura a seguir mostra um bloco de massa m, ligado a uma mola de rigidez k e sujeitas ao atrito de coeficiente b.

Sistema massa-mola

Sistema massa-mola Um diagrama das forças agindo sobre o bloco conduz diretamente à equação de movimento: A solução para a equação diferencial acima é uma função de tempo, x(t), que especifica o movimento do bloco Esta solução dependerá das condições iniciais do sistema (posição e vel inicial).

Solução da equação Do estudo de equações diferenciais, sabemos que a solução para uma equação desta forma depende das raízes da sua equação característica:

Raizes da equação característica As raizes são: Onde s1 e s2 são os polos do sistema

Polos O local dos pólos do sistema no plano real-imaginário ira ditar a natureza do movimento no sistema: Real e diferentes: sistema superamortecido, friçcão domina. Real e iguais: sistema criticamente amortecido Raizes Complexas: sistema subamortecido, comportamento oscilatório

Soluções para os sistemas Cada um destes tipos possui uma solução para a equaçõe do movimento diferente. A solução desejada é geralmente o sistema criticamente amortecido, pois é o que leva a posição estável mais rapidamente. As 3 soluções são descritas a seguir.

Sistema com raizes reais e diferentes A solução é dada pela equação: Onde: s1 e s2 são dadas pelas equações das raizes c1 e c2 são determinados a partir das condições iniciais.

Sistema com raizes reais e diferentes

Sistema com raizes complexas A solução se transforma (usando a formula de Euler para números complexos) em: Onde: λ é a parte real, e μ a parte imaginária da solução s1 e s2, e c1 e c2 são determinados a partir das condições iniciais.

Sistema com raizes complexas

Sistema com raizes complexas Outra forma comum de descrever sistemas de segunda ordem oscilatórios é em termos de taxa de amortecimento e frequência natural: onde: ζ é a taxa de amortecimento e μn é a frequência natural do sistema

Sistema com raizes complexas ζ e μn possuem relação com os componentes reais e imaginários dos polos, sendo: Em um sistema sem amortecimento, ζ é zero, e em um criticamente amortecido é igual a 1

Raizes reais e iguais No caso onde A equação fica: E o resto continua igual.

Raizes reais e iguais

Sistema superamortecido

Sistema criticamente amortecido

Sistema subamortecido

Controle de sistemas lineares de segunda ordem Imaginem que o comportamento do sistema massa mola não é o que desejamos… Por meio do uso de sensores, um atuador e um sistema de controle podemos modificar o comportamento de sistemas conforme o desejado.

Controle de sistemas lineares de segunda ordem Se temos um atuador, a equação de movimento fica: Podemos propor uma lei de controle: onde a posição e velocidade são dadas por sensores, e kp e kv são os ganhos do sistema. Sistema regulador de posição.

O sistema

O controle

A dinâmica do sistema Juntando as duas equações, podemos derivar a equação de movimento do sistema: ou onde: b’= b + kv e k’ = k + kp Amortecimento crítico é obtido usando

Fim do relembrar é viver Voces já tiveram tudo isso, certo?

Sistemas de Controle Particionado

Particionamento da lei de controle Podemos particionar um controlador em uma parte baseada em modelo e uma porção servo. O resultado é que os parâmetros de sistemas (ou seja, m, b e k) aparecem apenas na parte baseada no modelo, e a parte de servo é independente desses parâmetros.

Particionamento Queremos decompor a lei de controle em duas partes. Para tanto, usamos a força como: onde:

Particionamento Substituindo os valores de α e β, a nova lei de controle fica: Mas como A lei de controle fica sendo: Usendo esta metodologia, o ganho é dado sempre por

Sistema particionado

Controle de posição seguindo uma trajetória

Seguindo trajetórias Ao invés de apenas manter o bloco em um local desejado, podemos projetar um controlador para que o bloco siga uma trajetória. A trajetória é uma posição em função do tempo, xd (t). O erro entre a trajetória atual e a desejada é e(t) = xd (t) - x.

Controle para seguir trajetórias Uma lei de controle que faz o sistema seguir uma trajetória é dada por: Mas se usarmos um sistema particionado, fica: ou

Controlador seguidor de trajetória

Controle de uma junta 1R

Modelando e controlando uma junta. Desenvolveremos um modelo simplificado de uma única junta rotativa de um manipulador. Motor elétrico DC com engrenagem Inercia constante Baixa ressonância Indutância do motor pode ser discartada Restrições compatíveis com robôs industriais reais.

Para modelar o Manipulador 1R É necessário modelar diversos aspectos: Torque do motor Inércia do sistema Oscilação do sistema.

Torque de um motor DC Geralmente, o torque produzido por motor é indicado por meio de uma constante que relaciona a corrente no motor com o torque de saída: Isto é uma simplificação que ignora que o motor tem uma indutância, que existem efeitos de geração de energia com a velocidade, etc…

Inércia de uma junta rotacional Em uma junta rotacional com engrenagem existe uma relação de transmissão (μ) que provoca um aumento no torque e a redução da velocidade da junta:

Junta com motor e redução

Equação de torque-inércia Uma relação entre os torques existentes, considerando o torque do motor, é: Onde: Im é a inércia do motor I é a inérica da carga bm é o coeficiente de fricção viscoso do motor e b é o da carga.

Equação de torque-inércia Substituindo os valores de torque do motor e velocidade nesta equação, temos: O primeiro termo é chamado de inércia efetiva, e o segundo de amortecimento efetivo. Em um conjunto altamente reduzido (μ >> 1) a inércia do rotor do motor domina.

Oscilação e ressonância Visto que decidimos não modeIar as flexibilidades estruturais do sistema, nós deve ter cuidadosos para não excitar estas ressonâncias. Regra: se a mais baixa frequência estrutural é ωres, a frequência máxima do sistema de controle deve ser:

Finalmente… Para controlar uma junta 1R, utilizamos um Sistema de Controle Particionado, controlando torque em vez de força. Assim, temos: e

A equação de controle dinâmico A equação de controle dinâmico em laço fechado fica: E os ganhos são:

Entenderam alguma coisa?

E levando em conta alguma não linearidade?

Atrito de Coulomb Para a maioria dos manipuladores de hoje, o atrito da articulação é modelado com mais precisão utilizando o modelo de Atrito de Coulomb: A fricção linear é descrita por A fricção de Coulomb é dada por

Atrito de Coulomb

Sistema não linear A equação dinâmica não linear fica: E as equações de controle:

Exemplo: Pêndulo Invertido (1R) Considere um manipulador 1R: A massa é está localizada em um ponto na extremidade do link. O momento de inércia é então ml2, O atrito da junta é dada por atrito de Coulomb E há uma carga devido a força da gravidade.

Exemplo: Pêndulo Invertido (1R)

Solução não linear para 1R O modelo do manipulador é E a solução de controle é: onde E o controle é

E o controle do manipulador todo? Faltam poucos slides …

O Problema de controle de manipuladores genéricos Vimos que as equações de Newton-Euler são solucionadas simbolicamente para um manipulador, elas geram ur resultado que pode ser escrito como: Esta é a equação de espaço-estado do manipulador.

Relembrando: Equações de movimento M é uma (n x n) matriz de massas do manipulador, com termos dependentes da aceleração. V é um (nx1) vetor de forças centrífugas e de Coriolis, dependentes da velocidade. G é uma (nx1) vetor que contém todos os termos dependentes da gravidade.

Relembrando: Exemplo 5: manipulador 2R se torna

Adicionando Atrito de Coulomb Podemos adicionar um termo de frição nesta equação, tornando o sistema não linear: Esta é a equação de espaço-estado do manipulador.

O Problema de controle dos manipuladores O Problema de controle dos manipuladores é resolvido da mesma maneira, utilizando controle particionado como visto Neste caso: onde

Controle dos manipuladores A lei de controle servo é: Onde E o sistema é caracterizado pela equação: Onde os ganhos são calculados como sempre…

Controle do manipulador.

E se quisermos controlar a força que o manipulador aplica?

Controle de força O controle de posição como visto até aquí pode ser extendido para controlar a força que o robô aplica em alguma direção. Controle híbrido: Um controlador para posição. Um para a força aplicada.

Controle de força

Controle híbrido posição/força

Conclusão do Controle Vimos que em certos casos simples, não é dificil projetar um sistema de controle. O controle de um manipulador é conseguido usando esses metodos. Regra: Reduza o problema a um sistema linear que pode ser controlado usando o servo linear com controle particionado.

Fim