CÁLCULO NUMÉRICO Aula 7 – Integração Numérica

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA Integração Numérica: Regra dos retângulos; Regra dos trapézios; Regra de Simpson.

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Integral definida é numericamente igual a área sob a curva f(x) no intervalo do domínio [a, b]. Integração numérica – técnica empregada na determinação de uma integral definida e consiste na seguinte aproximação: Polinômio interpolador – (n+1) pontos geram um único polinômio de grau menor ou igual a n.

REGRA DOS RETÂNGULOS Subdividimos o intervalo [a,b] em “n” intervalos iguais que servirão para as bases dos retângulos a serem construídos; A soma das áreas destes retângulos será uma aproximação da integral definida da função f(x) no intervalo [a,b]. x y h xi f(xi)

REGRA DOS RETÂNGULOS - CONTINUAÇÃO Área de cada retângulo : h.f(xi), onde h = (b-a)/n e f(xi) é o valor da função para o ponto médio da base do retângulo: Observe que a lei de formação de xi é dada por:

EXEMPLO1: Determine pela regra dos retângulos com n = 10. Solução Analítica: Solução Numérica: h = (1-0)/10 = 0,1

EXEMPLO1- CONTINUAÇÃO Solução Numérica: Da tabela, Assim, I = 0,1 x 3,469912 = 0,34699 Erro = 0,34699 - 0,34657 = 0,00042

REGRA DOS TRAPÉZIOS Subdividimos o intervalo [a,b] em “n” intervalos iguais que servirão de alturas para os trapézios que serão construídos; A soma das áreas destes trapézios será uma aproximação da integral definida da função f(x) no intervalo [a,b]. x y f(x)

REGRA DOS TRAPÉZIOS Áreas dos trapézios: Somando-se

EXEMPLO 2: Determine com n = 4 pela regra dos trapézios SOLUÇÃO: h = (1-0)/4 = 0,25; f(x) = ex X0= 0; x1 = 0,25 ; x2 = 0,50; x3 = 0,75 e x4 = 1,0

REGRA DE SIMPSON A Regra de Simpson consiste na aproximação da função contínua f(x) no intervalo [a,b] por um polinômio do 20 grau; h = (b-a)/n = (xn-x0)/n Na expressão atentar para: f(x0) e f(xn) coeficientes unitários; f(xímpar) coeficiente 4; f(xpar) coeficiente 2.

EXEMPLO 3: Determine pela regra de Simpson 1/3 com n = 4 Solução: h = (3-2)/4 = 0,25 X0 = 2; x1 = 2,25; x2 = 2,5; x3 = 2,75 e x4 = 3 f(x0)=5,43; f(x1)=6,93; f(x2)=8,73, f(x3)=10,88 e f(x4)=13,45.

RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: Integração numérica: Regra dos retângulos; Regra dos Trapézios; Regra de Simpson (1/3)