E.E. Dona Antônia Valadares Matemática Ensino MÉDIO - 1º Ano REVISÃO –GEOMETRIA 2ª PARTE: RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Cateto a Cateto b Altura h m B A H n Hipotenusa c Prof: Alexsandro de Sousa

Elementos de um triângulo retângulo O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A . b c A B C a (Â é reto) O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, enquanto os outros dois são chamados catetos. a: é a hipotenusa. b e c: são os catetos Prof: Alexsandro de Sousa

Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n. a: é a hipotenusa. b e c: são os catetos h: é a altura do triângulo em relação à hipotenusa. m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa. n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa. b c h n m a Prof: Alexsandro de Sousa

A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH. Prof: Alexsandro de Sousa

1ª relação métrica A A b c h h n m C B H H m h h n c b Prof: Alexsandro de Sousa

2ª relação métrica A A b b c h m a B C C H b c m h a b Prof: Alexsandro de Sousa

3ª relação métrica A A b c c h n a B H B C b c h n a c Prof: Alexsandro de Sousa

4ª relação métrica A A b c c h n a B H B C b c h n a c Prof: Alexsandro de Sousa

Teorema de Pitágoras (5ª relação métrica) Somando, membro a membro, as duas igualdades, tem-se: b c h n m a 2ª relação: b² = m . a 3ª relação: c² = n . a Observe que a = m + n Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Prof: Alexsandro de Sousa

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Resumindo, as relações métricas do triângulo retângulo são: b a m n h h2 = mn c2 = am b2 = an ah = bc a2 = b2 + c2 a = m + n Prof: Alexsandro de Sousa

Exemplos 1 – Qual é a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 5 cm? Resolução: Seja um quadrado de lado 5 cm. A diagonal de um quadrado nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo, em que seus catetos são dois dos lados do quadrado. Isso faz os catetos serem medidas iguais. Observe: Chamando a diagonal (hipotenusa) de x, e usando o Teorema de Pitágoras, teremos: x2 = 52 + 52  x2= 25 + 25  x2 = 50  x = 5 Logo, fica clara a generalização para o cálculo da diagonal de qualquer quadrado: x 5 cm 5 cm d = l 2 Prof: Alexsandro de Sousa

2 – Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 10cm. Resolução: Seja um triângulo equilátero de lado 10cm. A altura desse triângulo é um dos catetos do triângulo em destaque. Observe: Chamando a altura (que é um dos catetos do triângulo destacado) de x e usando o Teorema de Pitágoras, teremos: 102 = x2 + 52 O outro cateto mede 5cm, pois a altura divide a base ao meio e um destes novos segmentos será o outro cateto. Logo: 100 = x2 + 25  x2 = 100 – 25  x = 75  x = 5 Logo, fica clara a generalização para o cálculo da altura de qualquer triângulo equilátero: 10cm . Prof: Alexsandro de Sousa

3 – Os catetos do triângulo retângulo ao lado medem: h A B C b n m c H 3 – Os catetos do triângulo retângulo ao lado medem: AB = c = 6cm e AC = b = 8cm. Determine a medida da projeção dos catetos sobre a hipotenusa e a altura (h) relativa a ela. Resolução: A hipotenusa na figura é o lado BC, que chamaremos de a. Por Pitágoras, temos : a2 = 82 + 62  a2 = 64 + 36  a2 = 100  a = 10 c2 = a . m  62 = 10 . m  36 = 10 . m  m = 36/10  m = 3,6cm b2 = a . n  82 = 10 . n  64 = 10 . n  n = 64/10  m = 6,4cm h2 = m . n  h2 = 3,6 . 6,4  h2 = 23,04  h =  h = 4,8 h . a = b . c  h . 10 = 8 . 6  h . 10 = 48  h = 48/10  h = 4,8 Prof: Alexsandro de Sousa