A aula a seguir traz demonstrações e alguns exemplos sobre o estudo da circunferência e de posições que um determinado ponto, e uma reta pode assumir em relação a uma circunferência.

Geometria Analítica: Estudo da circunferência e Posições relativas entre ponto e circunferência. Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, uma circunferência com centro no ponto (a,b) de um plano e tendo raio r, é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) deste plano que estão localizados à mesma distância r do centro (a,b).

Geometria Analítica: Estudo da circunferência. 1.    Equação Reduzida da Circunferência de raio r e centro C(a,b) dPC = r => d2PC = r2 (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Geometria Analítica: Estudo da circunferência. Equação Reduzida Exemplo: Determinar a equação reduzida da circunferência com centro no ponto C(2, 3) e raio 5. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25

Geometria Analítica: equação da circunferência. Lembre-se:

Geometria Analítica: Estudo da circunferência. Equação geral 1.    Equação geral da Circunferência de raio r e centro C(a,b) (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Desenvolvendo os produtos notáveis temos x2+y2-2.a.x-2.b.y+(a2+b2-r2)=0 obs:para a equação representar uma circunferencia x2 e y2 devem ter coeficentes iguais a 1

Geometria Analítica: Estudo da circunferência. Exemplo1.    Escreva a equação geral da Circunferência de raio 5 e centro C(2,3) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 52 Desenvolvendo os produtos notáveis temos x2+y2-2.2.x-2.3.y+(22+32-52)=0 x2+y2-4x-6y+(4+9-25)=0 x2+y2-4x-6y-12=0

Geometria Analítica: Estudo da circunferência. Exemplo2.    Determine o valor do raio e centro da circunferência de equação x2+y2-2x+8y-8=0 Comparando com a equação geral x2+y2 -2.a.x -2.b. y+ (a2+b2-r2) =0 temos: x2+y2 –2x + 8 y -8 =0 valor em x(a) -2.a= -2 => a = 1 valor em y(b) -2.b = 8 => b = - 4 Valor raio 12+(-4)2-r2 = -8 => r2 = 1+16+8 => r = r=5 C(1,-4) raio 5

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência.    Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência.

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência.

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência. Exemplo-1: Qual a posição relativa do ponto P(3, 2) em relação à circunferência de equação Substituindo:P(3, 2) na equação x2+y2-6.x+5=0 temos: 32+22-6.3+5=0 Então o ponto P(3, 2) pertence a circunferência uma vez que a distância do centro ao ponto P é igual ao raio.

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência. Exemplo-2: Qual a posição relativa do ponto P(-2, -3) em relação à circunferência de equação: Substituindo: P(-2, -3) na equação (x+1)2+(y+4)2= temos: (-2+1)2+(-3+4)2= Como a distância do centro ao ponto P em questão é menor que zero podemos concluir que o ponto é interno a circunferência.

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência. Exemplo-3: Qual a posição relativa do ponto P(1, 4) em relação à circunferência de equação Substituindo:P(1, 4) na equação x2+y2-2.x+4y-21=0 temos: 12+42-2.1+4.4-21=0 Nesse caso a distância do ponto ao centro é maior que o raio concluímos então que o ponto é externo à circunferência

Geometria Analítica: Posições relativas entre ponto e circunferência. Resumo final: Quando temos um ponto P(m, n) e uma circunferência , de centro C(a, b) e raio r, podemos afirmar que: P   P é interno a  P é externo a 

Geometria Analítica: Posições relativas reta e circunferência. No plano , temos três posições relativas entre uma reta e uma circunferência a)A reta é tangente a circunferência r C(a,b) dc,r =raio ° raio Nesse caso a distância do reta ao centro é igual ao raio

Geometria Analítica: Posições relativas reta e circunferência. b)A reta é secante a circunferência r d C(a,b) dc,r <raio ° raio Nesse caso a distância do reta ao centro é menor que o raio

Geometria Analítica: Posições relativas reta e circunferência. c)A reta é exterior a circunferência r C(a,b) d dc,r >raio ° raio Nesse caso a distância do reta ao centro é maior que o raio

Geometria Analítica: Posições relativas reta e circunferência. Exemplo1 Qual é a posição da reta (r) 3x+4y+4=0 em relação a circunferência (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1 Centro C(1,2) e raio 1 Calculando a distância do centro a reta temos: dc,r=3 (r) 3x+4y+4=0 C(1,2) Temos que dc,r >raio Pois 3>1 ° d=3 r=1 Nesse caso a reta é externa à circunferência

Geometria Analítica: Posições relativas reta e circunferência. Exemplo2 Qual é a posição da reta (r) 3x+4y+4=0 em relação a circunferência (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9 Centro C(1,2) e raio 3 Calculando a distância do centro a reta temos: dc,r=3 (r) 3x+4y+4=0 C(1,2) Temos que dc,r =raio Pois 3=3 ° d=3 r=3 Nesse caso a reta é Tangente à circunferência

Geometria Analítica: Posições relativas reta e circunferência. Exemplo3 Qual é a posição da reta (r) 4x-3y+10=0 em relação a circunferência x2+y2-2.x+4y-20=0 Centro C(1,-2) e raio 5 Calculando a distância do centro a reta temos: dc,r=4 (r) 4x-3y+10=0 Temos que dc,r <raio C(1,-2) Pois 4<5 d=4 ° r=5 Nesse caso a reta é secante à circunferência

Geometria Analítica: Estudo da circunferência. Créditos da Aula: Adaptado por José Camilo Todos os direitos reservados ao Professor: Stanislau Lima Em breve disponível no site: www.somatematica.com.br