Sistemas de Controle III N8SC3 Prof. Dr. Cesar da Costa 7.a Aula: Matriz de Transição de Estado no Domínio do Tempo

Computação da Matriz de Transição de Estado Lembre-se que: Matriz de Transição de Estado no Domínio da Frequência Matriz de Transição de Estado no Domínio do Tempo Aprender a calcular a Matriz Exponencial

Computação da Matriz de Transição de Estado Considere a Matriz A (n x n) e a Matriz identidade I (n x n). Por definição , os autovalores de A são as raízes de um Polinômio de ordem n.

Computação da Matriz de Transição de Estado Recorde-se que a expansão de um determinante produz um polinômio. As raízes do polinômio da Equação podem ser números reais ou complexos. A evolução da Matriz de Transição de Estado é baseada no Teorema de Cayley-Hamilton. Este teorema diz que uma Matriz pode ser expressa como um polinômio de (n-1) graus em termos da Matriz A: (1)

Computação da Matriz de Transição de Estado Na equação (1) os coeficientes ai (i = 0, 1, 2,...n-1) são funções dos autovalores (lambda) Se os autovalores lambda da matriz A satisfazem a seguinte condição, ou seja, são distintos: Os coeficientes ai podem ser calculados pelas seguintes Equações:

Computação da Matriz de Transição de Estado Exemplo 4: Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A. Solução: Resolvendo-se os autovalores da matriz A:

Autovalores da Matriz A

Cálculo dos Coeficientes ai, conforme Equação (6) Como a matriz A é de ordem 2 x 2, computamos apenas os dois primeiros termos da equação (6): (3) Os coeficientes a0 e a1 podem ser determinados pelas Equações :

Cálculo dos Coeficientes ai, conforme Equação (6) Substituindo-se nas equações os autovalores da matriz A calculados: Resolvendo-se o sistema de equações, tem-se:

Cálculo da Matriz de Transição de Estado Substituindo-se os coeficientes calculados na Equação (7), tem-se: Substituindo-se a matriz identidade e a matriz A, tem-se:

Cálculo da Matriz de Transição de Estado Fazendo as operações com as matrizes, tem-se a matriz de transição de estado:

Computação da Matriz de Transição de Estado Exercício : Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A.

Computação da Matriz de Transição de Estado Solução : Determinação dos autovalores da matriz A    

Computação da Matriz de Transição de Estado Solução :   Resolvendo o sistema de 3 incógnitas, tem-se:      

Computação da Matriz de Transição de Estado Solução :       Exercicio da Lista: Achar o valor da matriz de transição.

Função de Transferência A função de transferência pode ser calculada a partir dos coeficientes da Equação de estado. Considere a equação de estado de Saída (1): (1) Aplicando-se Laplace em ambos os lados da equação de estado (2): (2) Multiplicando-se ambos os lados da equação por : (3)

Se aplicarmos a condição inicial na equação (4), tem-se: Na equação (4), é a transformada de Laplace da entrada u(t). Então, dividindo-se ambos os lados por , encontra-se a função de transferência: (5)

A matriz G(s) denomina-se matriz de transferência (ou matriz das funções de transferência ) do sistema. No caso dos sistemas escalares , isto é, como uma só variável escalar de entrada e outra de saída, a matriz de transferência se reduz á função de transferência do sistema.

Estabilidade do Sistema Um sistema é estável quando todos os polos da sua função de transferência estão situados no semi plano esquerdo (SPE). Ou seja, não pode haver polos nem no semi plano direito (SPD), nem no eixo imaginário do plano.

Dada a função de transferencia: Os polos do sistema são: -1 , -2 e -3. Estão todos no SPE, logo o sistema é ESTAVEL.

Exercício 1: Dados: Condicoes initials: a) Determine a Equacao de Estado do circuito RLC série e a represente na forma de uma Matriz. b) Determine a Funcao de Transferencia do circuito. c) Determine a Funcao de Transferencia do circuito usando o MATLAB.

Solucao (a): A equacao diferencial que descreve o circuito: Substituindo –se pelos valores dados: Escolhendo-se as variáveis de estado:

Solucao (a): A equacao de estado será: Na forma de Matriz:

Solucao (b): O circuito no domínio s :

Solucao (c): 1. Funcao ss2tf (Equacao de estado para Funcao de transferencia) :

Solucao (c): 1. Funcao tf2ss (Funcao de transferencia para Equacao de estado) :

Exercício 2 (Lista): Considere as equacoes de estado e de saída de um sistema linear: Determine: a) A funcao de transferencia do sistema. b) Os polos do sistema e faca sua representacao no plano s. c) A matriz de transicao de estado.

Exercício 3 (Lista): Considere as equacoes de estado e de saída de um sistema linear: Sendo as condicoes iniciais: Determine: a) Os autovalores da matriz A. O sistema é estável? b) A matriz de transicao de estado. c) A funcao de transferencia G(s). d) A resposta as condicoes iniciais.