Teoria dos Conjuntos

Conjuntos – Conceitos iniciais Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto. Exemplos - Conjunto O conjunto dos alunos do 1º ano do ideal. O conjunto de todos os números inteiros. O conjunto de todos os números reais que é solução da equação x2 – 16 = 0. Em geral, utilizamos letras latinas maiúsculas para representar conjuntos. A, B, C, ..., Z.

Conjuntos – Conceitos iniciais Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto. Exemplos – Elemento Pedro é um elemento do conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio ideal. 7 é um elemento do conjunto dos números inteiros. +4 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2 – 16 = 0. Em geral, utilizamos letras latinas minúsculas para representar elementos. a, b, c, ..., z.

Conjuntos – Conceitos iniciais Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto. Exemplos – Pertinência Pedro pertence ao conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio ideal. 7 pertence ao conjunto dos números inteiros. +4 pertence ao conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2 – 16 = 0. Utilizamos o símbolo  “pertence” e  “não pertence” para relacionar elemento e conjunto.

Notações de Conjuntos Um conjunto pode ser representado: Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas; Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos; Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de Venn-Euler”.

Exemplo Representar o conjunto V das vogais. V = {a, e, i, o, u} V = {x; x é vogal} V como no diagrama ao lado a e i o u No caso a  V, mas m  V.

Observação Há conjuntos com apenas: Um único elemento, chamados conjuntos unitários; Nenhum elemento, chamados conjunto vazio; Infinitos elementos, chamados conjuntos infinitos. O conjunto vazio pode ser representado pelos símbolos { } e Ø.

Exemplos A = {x; x é inteiro positivo, par e primo} A = {2} B = {x; x é inteiro, ímpar e divisível por 2} B = { } = Ø C = {a; a é número natural ímpar e primo} C = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}

Observação Se dois conjuntos possuem exatamente os mesmos elementos (não importando a ordem em que eles aparecem), dizemos que eles são conjuntos iguais. A = {x; x é inteiro positivo e x < 4} B = {2, 3, 1} A = {1, 2, 3} = B. Se x  A ⇒ x  B A = B ⇔ Se x  B ⇒ x  A

Exemplo A = Conjunto das letras da palavra TRATOR B = Conjunto das letras da palavra ATOR A = {t, r, a, o} B = {a, t, o, r} A = B

Subconjuntos Se todo elemento de um conjunto A é também elemento de um conjunto B, dizemos que: A está contido em B (símbolo: A ⊂ B); B contém A (símbolo: B ⊃ A); A é subconjunto de B; A é parte de B. B A

Exemplo A = {x  ℕ; x < 4} B = {x  ℝ; x(x – 1) = 0} A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1} Podemos afirmar que B é um subconjunto de A (B ⊂ A). A B 2 1 3

Observação – subconjuntos Se um conjunto A é igual a um conjunto B (A = B), então A ⊂ B e B ⊂ A. Se A ≠ B, A ≠ Ø e A ⊂ B, dizemos que A é subconjunto próprio de B. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (Ø ⊂ A, para todo A) O vazio é subconjunto de qualquer conjunto; Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

Exemplo Encontrar todos os subconjuntos de A = {1, 2, 3}. Com 0 elemento → Ø Com 1 elemento → {1}, {2}, {3} Com 2 elementos → {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} Com 3 elementos → {1, 2, 3} Dizemos que Ø e A = {1, 2, 3} são subconjuntos triviais de A. Os outros são os subconjuntos próprios de A.

Observação – subconjuntos Chamamos de conjunto das partes do conjunto A e representamos por P(A), o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. Exemplo A = {1, 2, 3} Subconjuntos de A: Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} n(P(A)) = 2n(A)

Exemplo Se um conjunto A tem n elementos e 128 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A? 2n = 128 ⇒ 2n = 27 ⇒ n = 7 Logo, o conjunto A tem 7 elementos.