Aula 07 – Matemática II – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Integração Volume Aula 07 – Matemática II – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Volume de um sólido

Na tentativa de encontra o volume de um sólido, nos deparamos com o mesmo tipo de problema que para calcular áreas. Temos uma ideia intuitiva do significado de volume, mas devemos torná-la precisa usando o cálculo para chegar à definição exata de volume. Começamos com um tipo simples de sólido chamado cilindro (cilindro reto).

Um cilindro é delimitado por uma região plana B1, denominada base, e uma região congruente B2 em um plano paralelo. O cilindro consiste em todos os pontos nos segmentos de reta perpendiculares à base que unem B1 a B2. Se a área da base é A e a altura do cilindro (distância de B1 para B2) é h, então, o volume V do cilindro é definido como 𝑉=𝐴ℎ Em particular, se a base é um círculo com raio r, então o cilindro é um cilindro circular com o volume 𝑉=𝜋 𝑟 2 ℎ. B1 B2 h

Se a base é um retângulo com comprimento l e largura w, então o cilindro é uma caixa retangular (paralelepípedo retângulo), com volume 𝑉=𝑙𝑤ℎ h w l

Para um sólido S que não é um cilindro, inicialmente “cortamos” S em pedaços e aproximamos cada parte por um cilindro. Estimamos o volume de S adicionando os volumes dos cilindros. Chegamos ao volume exato de S através de um processo de limite em que o número de partes torna-se grande.

𝑉≈ 𝑖=1 𝑛 𝐴( 𝑥 𝑖 )∆𝑥 em que, n é o número de “fatias”, de largura ∆𝑥 𝑉≈ 𝑖=1 𝑛 𝐴( 𝑥 𝑖 )∆𝑥 em que, n é o número de “fatias”, de largura ∆𝑥. E 𝑥 𝑖 são os pontos amostrais. Estas aproximações ficam mais próximas do valor do Volume, quando 𝑛→∞. Portanto, definimos o volume como o limite dessas somas quando 𝑛→ ∞. Reconhecemos o limite da soma de Riemann como uma integral definida, e dessa forma temos a seguinte definição.

Definição de Volume

Seja um sólido que está entre 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 Seja um sólido que está entre 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. Se a área da secção transversal de 𝑆 no plano 𝑃𝑥, passando por 𝑥 e perpendicular ao eixo x, é 𝐴(𝑥), onde é uma função contínua, então o volume de 𝑆 é 𝑉= lim 𝑛→∞ 𝑖=1 𝑛 𝐴 𝑥 𝑖 ∆𝑥= 𝑎 𝑏 𝐴 𝑥 𝑑𝑥

Volume de revolução formado pela rotação

Suponha que 𝑓(𝑥) seja contínua e 𝑓(𝑥)≥0 no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏 e seja 𝑅 a região sob a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) entre 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. Nesse caso, o volume do sólido 𝑆 formado pela rotação de 𝑅 em torno do eixo 𝑥 é dado por 𝑉𝑜𝑚𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑆= 𝜋 𝑎 𝑏 [𝑓(𝑥) ] 2 𝑑𝑥

Exemplo 1 Neste caso, ao girar em torno do eixo x, a função fica negativa entre uns pontos de a e b, porém a fórmula da integral é válida normalmente Determine o volume do sólido S formado pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y = x2+1 entre x = 0 e x = 2.

Neste caso, a região R está entre os gráficos de duas funções, f(x) e g(x). Assim, o volume será definido por 𝑉=𝜋 𝑎 𝑏 {[𝑓 𝑥 ] 2 − 𝑔 𝑥 ] 2 𝑑𝑥 Exemplo 2 Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola f 𝑥 =𝑦= 1 4 (13− 𝑥 2 ) e pela reta g x =𝑦= 1 2 𝑥+5 .

Exemplo 3 Neste caso, 𝑦= 𝑥 3 ≡𝑥= 3 𝑦 , 𝑒 𝑔 𝑦 = 3 𝑦 Ao girar em torno do eixo y, o volume é determinado por: 𝑉= 𝑐 𝑑 {𝑔(𝑦) } 2 𝑑𝑦 A região limitada pela parábola cúbica 𝑦= 𝑥 3 , pelo eixo dos 𝑦 e pela reta 𝑦 = 8, tira em torno do eixo dos 𝑦. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. Neste caso, 𝑦= 𝑥 3 ≡𝑥= 3 𝑦 , 𝑒 𝑔 𝑦 = 3 𝑦

Exemplo 4 Neste caso, a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados, sendo o volume dado por 𝑣=𝜋 𝑎 𝑏 [𝑓 𝑥 −𝐿 ] 2 𝑑𝑥 Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta 𝑦=4, da região limitada por 𝑦= 1 𝑥 , 𝑦=4 𝑒 𝑥=4. Neste exemplo, temos [L-f(x)], o que não interfere no cálculo do volume.

Exemplo 5 Para determinar os pontos de interseção da curva com o eixo x, igualamos a equação a zero. Um tumor tem aproximadamente a mesma forma que o sólido formado pela rotação da região sob a curva 𝑦= 1 3 16−4 𝑥 2 em torno do eixo x, onde x e y estão em centímetros. Determine o volume do tumor.

Exercícios Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas: 𝑦=𝑥+1, 𝑥=0, 𝑥=2, 𝑦=0 𝑦= 𝑥 2 , 𝑦= 𝑥 3 𝑦= 𝑥 3 , 𝑥=−1,𝑥=1,𝑦=0

2) Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R, limitada pelos gráficos da equações dadas: a) 𝑥= 𝑦 2 +1, 𝑥= 1 2 , 𝑦=−2, 𝑦=2.

3) Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados: 𝑦=2𝑥−1, 𝑦=0, 𝑥=0, 𝑥=4, 𝑎𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑥. 𝑦=2 𝑥 2 , 𝑥=1, 𝑥=2, 𝑦=2, 𝑎𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑦=2.