Frequência Complexa Prof. Iury V. de Bessa Departamento de Eletricidade Faculdade de Tecnologia Universidade Federal do Amazonas

Resposta de um circuito Como encontrar 𝑦(𝑡) sem EDO’s, usando o que se sabe até agora? CASO 1: 𝜔=0; CASO 2: 𝜔≠0 e 𝑡→∞ Objetivos: Definir o conceito de frequência complexa; Generalizar conceitos de impedância e admitância; Compreender o comportamento da resposta quando 𝜔 varia; Constituir uma ligação entre o conhecimento atual e as técnicas que serão vistas nesse curso Circuito RLC 𝑢 𝑡 = 𝑢 𝑚 cos 𝜔𝑡+𝜃 𝑦(𝑡)

Oscilações crescentes e decrescentes Qual função de excitação corresponde a essas formas de onda?

Oscilações crescentes e decrescentes 𝜔=0 𝜔≠0 𝒚 𝒕 = 𝒀 𝒎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+𝝓

Oscilações crescentes e decrescentes E quanto a essas?

Oscilações crescentes e decrescentes 𝜎>0 𝜎<0 𝒚 𝒕 = 𝒀 𝒎 𝒆 𝝈𝒕

Oscilações crescentes e decrescentes E quanto a essas?

Oscilações crescentes e decrescentes 𝜎<0, 𝜔≠0 𝜎>0,𝜔≠0 𝒚 𝒕 = 𝒀 𝒎 𝒆 𝝈𝒕 ⋅cos 𝝎𝒕+𝝓

Oscilações crescentes e decrescentes 𝜎>0,𝜔=0 𝜎<0,𝜔=0 𝒚 𝒕 = 𝒀 𝒎 𝒆 𝝈𝒕 ⋅cos 𝝎𝒕+𝝓

Oscilações crescentes e decrescentes 𝜎=0,𝜔=0 𝜎=0,𝜔≠0 𝒚 𝒕 = 𝒀 𝒎 𝒆 𝝈𝒕 ⋅cos 𝝎𝒕+𝝓

Oscilações crescentes e decrescentes 𝑦 𝑡 = 𝑌 𝑚 𝑒 𝜎𝑡 ⋅ cos 𝜔𝑡+𝜙 𝑦 𝑡 = 1 2 ( 𝑌 𝑚 𝑒 𝑗𝜙 𝑒 𝜎+𝑗𝜔 𝑡 + 𝑌 𝑚 𝑒 −𝑗𝜙 𝑒 𝜎−𝑗𝜔 𝑡 ) 𝐘= 𝑌 𝑚 𝑒 𝑗𝜙 𝑦 𝑡 = 1 2 (𝐘 𝑒 𝜎+𝑗𝜔 𝑡 +𝐘 𝑒 𝜎−𝑗𝜔 𝑡 ) Fasores Girantes Então, 𝒚(𝒕) pode ser escrito como a metade da soma de dois fasores girantes (em sentidos opostos) com velocidade angular 𝝎 e taxa de redução (crescimento) 𝝈

A frequência complexa Definimos a frequência complexa 𝑠 como sendo: 𝑠=𝜎+𝑗𝜔 Onde: 𝜎: é a taxa logarítmica de redução (crescimento) em magnitude 𝜔: é a velocidade angular Qual a resposta forçada de um circuito a uma entrada 𝑥 𝑡 =𝐗 𝑒 𝑠𝑡 ? 𝑦 𝑡 =𝐘 𝑒 𝑠𝑡 =𝐻 𝑠 𝐗 𝑒 𝑠𝑡 Função de circuito Quem é H(s)?

Impedância e Admitância Considere o circuito abaixo onde a 𝑖 𝑡 e 𝑒 𝑡 são respostas forçadas a 𝑥 𝑡 : A razão 𝑧 𝑠 = 𝐸 𝑠 𝐼 𝑠 é denominada impedância e sua inversa é chamada de admitância (𝑌 𝑠 ). Se o elemento for resistência: 𝑍 𝑠 =𝑅 Para capacitância: 𝑍 𝑠 = 1 𝑠𝐶 E para indutância: 𝑍 𝑠 =𝑠𝐿 CKT 𝑥 𝑡 =𝐗 𝑒 𝑠𝑡 + 𝑒 𝑡 =𝐄(𝐬) 𝑒 𝑠𝑡 - 𝑖 𝑡 =𝐈 𝐬 𝑒 𝑠𝑡

Polos e Zeros A função de circuito 𝐻 𝑠 é o quociente de dois polinômios 𝐴 𝑠 e 𝐵 𝑠 , os quais podem ser escritos na forma fatorada: 𝐻 𝑠 = 𝐵 𝑠 𝐴 𝑠 = 𝑏 𝑚 𝑠 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑠 𝑚−1 +…+ 𝑏 1 𝑠+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 +…+ 𝑎 1 𝑠+ 𝑎 0 𝐻 𝑠 = 𝑏 𝑚 𝑎 𝑚 𝑠− 𝑧 1 𝑠− 𝑧 2 … 𝑠− 𝑧 𝑚 𝑠− 𝑝 1 𝑠− 𝑝 2 … 𝑠− 𝑝 𝑛 As raízes da equação 𝐵 𝑠 =0 𝑧 1 , 𝑧 2 ,…, 𝑧 𝑚 são denominadas zeros de 𝐻 𝑠 As raízes da equação 𝐴 𝑠 =0 𝑝 1 , 𝑝 2 ,…, 𝑝 𝑚 são denominadas polos de 𝐻 𝑠

O Plano 𝑠 É um plano que permite representar as frequências complexas, o eixo horizontal corresponde a 𝜎 e o vertical corresponde a 𝜔. Considere 𝐻 𝑠 𝐻 𝑠 =𝑘 𝑠− 𝑧 1 𝑠− 𝑧 2 … 𝑠− 𝑧 𝑚 𝑠− 𝑝 1 𝑠− 𝑝 2 … 𝑠− 𝑝 𝑛 Permite: Representar polos e zeros de um sistema Calcular graficamente o módulo e a fase de 𝐻 𝑠 𝐻 𝑠 = 𝑘 ⋅ 𝑠− 𝑧 1 ⋅ 𝑠− 𝑧 2 … 𝑠− 𝑧 𝑚 𝑠− 𝑝 1 𝑠− 𝑝 2 … 𝑠− 𝑝 𝑛 ∢𝐻 𝑠 =∢𝐾+ ∢ 𝑠− 𝑧 1 +∢ 𝑠− 𝑧 2 +…+ 𝑠− 𝑧 𝑚 − ∢ 𝑠− 𝑝 1 + 𝑠− 𝑝 2 +…+(𝑠− 𝑝 𝑛 )

Curvas de Resposta em Frequência