Raciocínio Lógico e Matemático Unidade 4: Conjuntos Prof. Diego Fernandes Emiliano Silva

Conjunto Conceito: Reunião de elementos com alguma característica comum. Exemplos: Conjunto dos livros da biblioteca da faculdade Anhanguera. Conjunto dos alunos da turma de RLM. Conjunto dos planetas do sistema solar. Conjunto dos números pares. Perceba nos exemplos que existem conjuntos finitos e infinitos.

Tipos especiais de conjuntos e axioma Conjunto vazio: conjunto sem elementos. Pode ser representado pelos símbolos ∅ ou { }. Conjunto universo: conjunto com todos os elementos. Exemplo: 𝑈= 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜 . Conjunto unitário: conjunto com apenas um elemento.

Axioma de extensão Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos Exemplo: 𝐴= 1, 2, 3, 5 𝐵= 1, 5, 3, 2, 2 Perceba que o conjunto B tem duas vezes o número dois Mesmo assim, os elementos contidos tanto no conjunto A quanto no conjunto B são iguais

Pertence / Contém / etc. Dado os conjuntos abaixo 𝑉= 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑣𝑜𝑔𝑎𝑖𝑠 𝐶= 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑜𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐴= 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜 Exemplos 𝑎∈𝑉 a pertence ao conjunto das vogais 𝑏∉𝑉 b não pertence ao conjunto das vogais 𝑉⊂𝐴 conjunto das vogais está contido no conjunto alfabeto 𝑉⊄𝐶 conjunto das vogais não está contido no conjunto das consoantes 𝐴⊃𝐶 conjunto alfabeto contém o conjunto das consoantes

Operações com conjuntos União: novo conjunto formado por todos os elementos dos conjuntos considerados 𝐴= 1, 2, 3 𝐵= 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑈𝑛𝑖ã𝑜:𝐴∪𝐵= 1, 2, 3, 𝑎, 𝑏, 𝑐 Observação: Mesmo que um elemento apareça tanto no primeiro quanto no segundo conjunto, o número em questão no conjunto união só aparecerá uma vez! 𝐵= 1, 2,𝑎, 𝑏, 𝑐

Operações com conjuntos Interseção: conjunto formado por valores que se repetem nos conjuntos considerados 𝐴= 1, 2, 3 𝐵= 1, 3, 5, 7 Interseção:𝐴∩𝐵= 1, 3

Operações com conjuntos Diferença: conjunto formado por elementos de um conjunto menos os elementos do outro conjunto 𝐴= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 𝐵= 1, 2, 5, 7, 8, 9 Diferença:𝐴−𝐵= 3, 4, 6

Operações com conjuntos Complementar: ideia relacionada a diferença. 𝐴= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 𝐵= 1, 2, 5, 7, 8, 9 Complemen𝑡𝑎𝑟: 𝐶 𝐵 𝐴=𝐵−𝐴= 8, 9 B A

Conjuntos numéricos Conjunto numéricos: os elementos dos conjuntos numéricos são os números Os tipos de conjuntos numéricos são Naturais Inteiros Racionais Irracionais Reais

Conjuntos numéricos Naturais: conjunto infinito formato pelo zero e todos os inteiros positivos ℕ= 0, 1, 2, 3, …, 100, …, 1.000, … Inteiros: conjunto infinito formado pelos números naturais e seus opostos (ou seja, números inteiros positivos e negativos) ℤ= …, −1.000, …, −2, −1, 0, 1, 2, …, 1.000, …

Conjuntos numéricos Racionais: conjunto infinito formato por números inteiros ou que possam ser representados na forma de fração ℚ= …, −1, − 1 2 ,0, 1 2 , 1, 2, 25 5 , …, 100, … Irracionais: conjunto formado pelos números decimais não exatos (dízimas infinitas e não periódicas) 𝕀= …, 2.718281…, 3.1415926…, …

Conjuntos numéricos Reais: conjunto formado pelos conjunto dos números racionais e reais ℝ ℕ ℤ ℚ 𝕀

Produto cartesiano Conjunto formado pelos pares ordenados dos elementos de um conjunto com o outro Coordenada 𝑎,𝑏 indica que elemento a está atribuída à abcissa (eixo x) e o elemento b está atribuído à ordenada (eixo y) 𝐴×𝐵= 𝑎, 𝑏 𝑎∈𝐴 𝑒 𝑏∈𝐵 Exemplo: 𝐴= 1, 2 𝐵= 1, 3, 5 𝐴×𝐵= 1, 1 , 1, 3 , 1, 5 , 2, 1 , 2, 3 , 2, 5

Plano cartesiano Plano cartesiano: Método criado pelo filósofo e matemático René Descartes Trata-se de dois eixos perpendiculares que pertencem a um plano em comum Serve para demonstrar ou representar graficamente pontos ou coordenadas no espaço Y > 0 X < 0 Y > 0 X > 0 Y < 0 X < 0 Y < 0 X > 0

Plano cartesiano do produto cartesiano Exemplo: 𝐴= 1, 2 𝐵= 1, 3, 5 𝐴×𝐵= 1, 1 , 1, 3 , 1, 5 , 2, 1 , 2, 3 , 2, 5

Plano cartesiano da relação Correspondência entre elementos de dois conjuntos 𝐴= 0, 1, 2, 3 𝐵= 1, 2, 3, 4 𝑅= 𝑎, 𝑏 𝑏=𝑎+1, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈𝐴 𝑒 𝑏∈𝐵 Valores de a b = a + 1 Valores de b b = 0 + 1 = 1 1 b = 1 + 1 = 2 2 b = 2 + 1 = 3 3 b = 3 + 1 = 4 4 𝑅= 0,1 , 1,2 , 2,3 , 3,4 Plano cartesiano da relação

Relação Subconjunto do produto cartesiano 𝐴×𝐵 Dados os conjuntos 𝐴 e 𝐵, uma relação 𝑅 de 𝐴 em 𝐵 denota uma relação de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑅:𝐴→𝐵 Em outras palavras, trata-se de um subconjunto de 𝐴×𝐵 onde 𝑅⊂𝐴×𝐵 (relação é um subconjunto contido em AxB)

Relação – exemplo para entender conceito Admitindo os conjuntos 𝐴= 0,1,2,3,4 𝐵= 0,1,2,3,4,5,6,7 𝑅= 𝑎,𝑏 |𝑏=𝑎+1, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ 𝐴 𝑒 𝑏 ∈𝐵 Temos: Valores de a b = a + 1 Valores de b b = 0 + 1 = 1 1 b = 1 + 1 = 2 2 b = 2 + 1 = 3 3 b = 3 + 1 = 4 4 b = 4 + 1 = 5 5 𝑅= 0,1 , 1,2 , 2,3 , 3,4 , 4,5

Relação – visão pelo diagrama de Venn B 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 Domínio: todos os elementos do conjunto A Contradomínio: todos os elementos do conjunto B Imagem: elementos de B que possuem correspondência com os elementos de A

Relação Relação considerando o conjunto dos números reais 𝑅= 𝑎,𝑏 |𝑏=𝑎+2, 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏∈ℝ Está relação tem infinitas combinações de pares ordenados 𝑅= …, −1,1 , 0,2 , 1,3 , 2,4 ,…

Relação - gráfico Relação considerando o conjunto dos números reais 𝑅= 𝑎,𝑏 |𝑏=𝑎+2, 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏∈ℝ

Fim Fim do curso de Raciocínio Lógico e Matemático Aprendemos ao longo do curso algumas questões básicas de matemática e lógica, tais como: razão; logaritmo; princípios da lógica, e; finalizamos o conteúdo com conjuntos Em Métodos Quantitativos vamos fazer estudo de função; função do 1º e do 2º grau, além de aprender algumas ferramentas de estatística Até o nosso próximo curso (Métodos Quantitativos)