Algebra Linear.

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Transcrição da apresentação:

Algebra Linear

Aplicações Resolução de problemas Lineares Otimização de processos Estatística Processamento de Imagens Programação

Vetores Elemento geométrico – segmento de reta intensidade (“valor”) Direção (“Inclinação”) Sentido (“para lá ou para cá” Em um dado espaço, significa ser o necessário para “carregar” o ponto A até B.

Intensidade Sentido B Direção 10 A

Termos para vetores Vetor Nulo = Vetor sem intensidade Vetor Oposto = vetor de igual intensidade e direção, mas sentido diferente Colineares/Coplanares = vetores na mesma reta/plano -V V

Operações com vetores B V U U + V SOMA DE VETORES A C

Propriedades de Adição Associativa (U+V)+w = U+(V+W) Comutativa U+V = V+U

Operações com vetores Vemos um vetor V não-nulo e um numero real não nulo P = k.v Direção a mesma de V Sentido: O mesmo se k>0 Contrário se k<0

Multiplicação de vetores 2 -1 3 Multiplicação de vetores

Propriedades da Multiplicação a(b.u) = (a.b)u (A+B)u = a.u + b.u a (u+v) = au + av 1 u = u

Vetores no Plano Cartesiano Y2 Y1 X1 X2

Vetores no Plano Cartesiano Vetor partindo da origem Y X

Operações no Plano Cartesiano Dado os vetores u = (x1, y1) e v = (x2,y2) u+v = (x1+x2, y1+y2) au = (ax1, ay1)

Vetor Definido por Dois Pontos AB = OB – AO AB = (x2 – x1, y2 – y1) A y1 y2 B x1 x2

Decomposição de vetores F Fy Fx

Fórmulas para decomposição

Soma de vetores oblíquos C A Regra do Paralelogramo B

Soma de Vetores oblíquos C A B

Produto escalar de dois vetores Utilizado em física (Dinâmica) Não é vetorial (apenas ESCALAR) u.v = x1x2 + y1y2

Propriedades do produto escalar u.v = v.u u.(v+w) = u.v + u.w m.(u.v) = m(u.v) = u.(m.v) u.u = |u|²

Módulo de um vetor Também considerado a distância entre dois pontos

Exercícios Dado o vetor u = (1, 2) e o vetor v = (4, 5). Determine u+v |p|, resultado da multiplicação de 2.u Produto escalar Módulo do vetor