Aula 15 Valores Máximo e Mínimo, Teorema do Valor Extremo, Teorema de Fermat, Método do Intervalo Fechado

Valores Máximo e Mínimo Definição. Uma função tem máximo absoluto (ou máximo global) em se para todo em onde é o domínio de O número é chamado valor máximo de em .

Valores Máximo e Mínimo Analogamente, tem mínimo absoluto (ou mínimo global) em se para todo em e o número é denominado valor mínimo de em . Os valores máximo e mínimo de são chamados valores extremos de .

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Máximo e Mínimo Local Definição. Uma função tem máximo local (ou máximo relativo) em se quando estiver nas proximidades de . Analogamente, tem um mínimo local (ou mínimo relativo) em se quando estiver próximo de .

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Exemplo 1 assume seu valor máximo (local e absoluto) 1 um número infinito de vezes, uma vez que e Da mesma forma, é seu valor mínimo, onde é qualquer número inteiro.

Exemplo 2 pois é o valor mínimo absoluto (e local) de .

Exemplo 3

Exemplo 4

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Exemplo 4

Teorema do Valor Extremo Se for contínua em um intervalo fechado então assume um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em certos números e em

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Observação Uma função pode não possuir valores extremos se for omitida uma das duas hipóteses (continuidade ou intervalo fechado) do Teorema do Valor Extremo.

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Teorema de Fermat Se tiver um máximo ou mínimo local em e se existir, então

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Exemplo 5

Exemplo 6

Número Crítico Definição: Um número crítico de uma função é um número no domínio de onde ou ou não existe.

Exemplo 7 Encontre os números críticos de

Solução se isto é, e não existe quando os números críticos são e 0.

Reformulação do Teorema de Fermat Se tiver um máximo ou mínimo local em então é um número crítico de .

Observação O método a seguir é útil para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua em um intervalo fechado Esse procedimento é chamado Método do Intervalo Fechado.

Método do Intervalo Fechado Encontre os valores de nos números críticos de em 2. Encontre os valores de nas extremidades do intervalo. 3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Exemplo 8 Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função

Solução se ou (são os únicos números críticos e estão no intervalo ). Note que

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Exemplo 9 Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função

Solução quando e isso ocorre quando ou (pontos críticos) Note que e

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Exemplo 10 O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em até a ejeção do foguete auxiliar em é dado por (em metros/segundos). Usando esse modelo, estime os valores máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar.

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Solução

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