Operadores Difernciais Gradiente Divergente Rotacional Propriedades Aplicações
Gradiente: O gradiente de uma função escalar é um vetor cujo módulo é a derivada direcional máxima no ponto considerado e cujo sentido é o sentido da derivada direcional máxima. Derivada direcional: É a taxa de variação da função em uma direção e sentido especificados. ds - deslocamento infinitesimal na direção e sentido ds - valor escalar de ds.
Considerando-se a função: (x,y)=x2+y2 A derivada direcional depende da direção e do sentido. Escolhendo-se dy/dx=-x0/y0 Obtemos
Podemos escolher:dy/dx=y0/x0 como: escolhemos então
Se derivarmos f(a) em relação a a: igualando-se a derivada a zero, obtém-se o máximo ou mínimo:
Portanto a variação máxima da função: figura 1: figura2:
Símbolos do Gradiente: e grad A derivada direcional em termos de gradiente é dada por: A equação acima permite-nos definir o gradiente em qualquer sistema de coordenadas Coordenadas retangulares: Conseqüentemente:
Divergente: Definição: div F ou É o limite de sua integral de superfície por unidade de volume quando o volume encerrado pela superfície tende a zero Integração Vetorial: - linha - superfície - volume Maiores Interesses: integral escalar de linha de um vetor integral escalar de superfície de um vetor integrais de volume de vetores e escalares Se F for um vetor a integral de linha é dada por:
Integral de linha ao longo de uma curva fechada Pode ou não ser zero Integral de Superfície e Superfície fechada Integral de Volume
Divergente: Definição: div F ou Para coordenadas cartesianas.
Rotacional: É o limite da razão entre a integral e o seu produto vetorial com a normal dirigida para fora, sobre uma superfície fechada, e o volume encerrado pela superfície quando o volume tende a zero. Em coordenadas retangulares:
O operador (nabla ou del) Relações importantes: Teorema de Stokes Teorema do Divergente Linearidade do Operador