Vetores no Espaço Simbologia Segmento Orientado Definição Boulos, Loreto, Winterle Objetivo: Conhecer as convenções e notações próprias da Álgebra. Realizar operações vetoriais Simbologia Segmento Orientado Definição Equivalência ou Equipolência Vetor (representação analítica e Geométrica Módulo, Direção e Sentido Soma: Representação geométrica e analítica Multiplicação de Vetor por um Escalar

Segmento orientado: (A,B); (C,D); (E,F)..... Simbologia Ponto no espaço: A, B , C ... B Retas: r, s, t... Seguimento orientado (A,B) Planos: a, b, g, ... A s Segmento: , , ..... Segmento orientado: (A,B); (C,D); (E,F).....

t r B Seguimento orientado (B,A) A s

t r B Seguimento A s

Segmento Orientado Definição B Origem B Extremidade (B,A) (A,B) A A (A,B)=-(B,A) - O sinal negativo , neste caso , indica que o segmentos orientados possuem sentidos opostos (A,B) e (C,D) tem o mesmo comprimento se os segmentos e tem o mesmo comprimento B 4 cm D C 4 cm A

Sendo (A,B) e (C,D) não nulos dizemos que (A,B) e (C,D) tem a mesma direção se // F C (A,B) (E,F) (C,D) E D A Supondo-se (A,B) e (C,D) na mesma direção: Se os segmentos e são distintos dizemos que (A,B) e (C,D) tem o mesmo sentido se e Tenham intersecção vazia. ø De outra forma, se ≠ ø dizemos que (A,B) e (C,D,) tem sentidos contrários B B C D A A C D

Equivalência ou Equipolência b) Se os segmentos e coincidem, tome (A’,B’) tal que A’ não pertença ao segmento e tenha a mesma direção e o mesmo sentido de (A,B). Então dizemos que (A,B) e (C,D) tem o mesmo sentido se (A’ ,B’) e (C,D) tem o mesmo sentido. Senão dizemos que (A,B) e (C,D) tem sentidos opostos B B D B’ C B’ C D A A A’ A’ Equivalência ou Equipolência Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolêntes [(A,B)~(C,D)] se ocorrer um dos casos: Ambos são nulos; Nenhum é nulo e tem o mesmo módulo, direção e sentido.

Proposições: Propriedades da Equipolência J B H L C A I F K G E Proposições: Propriedades da Equipolência (A,B)~(A,B) Reflexiva (A,B)~(C,D)→(C,D) ~ (A,B) Simétrica (A,B)~(C,D) e (C,D) ~(E,F) → (A,B)~(E,F) Transitiva Exercício: Demonstrar as proposições acima

Vetor: É uma classe de equipolência de segmentos orientados. Definição: Dado o segmento orientado (A,B), a classe de equipolência (A,B) é o conjunto de todos os segmentos orientados equipôlentes a (A,B). O segmento orientado (A,B) é representante da classe. D B J L H C F A K I G E Vetor: É uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se (A,B) é o segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representante será indicado por . Quando não for necessário destaques, representa-se o vetor pelas letras latinas . O conjunto de todos os vetores será indicado por V3.

Módulo, Direção e Sentido Norma, módulo ou comprimento de um vetor x é representado por: . Exemplo: vetor Vetor nulo: vetor de modulo zero Vetor unitário: vetor de modulo um: a=1 se os seus representantes forem paralelos. Vetores opostos: v é oposto a u se v=-u Em função dos representantes:

Soma: Representação geométrica e analítica Soma de vetor com um ponto: Dados o ponto A e o vetor v, existe um único ponto B tal que: Possui infinitos representantes, mas apenas um possui origem em A e Extremidade em B. A B Notação de Grassman: Propriedades: A+0=A, isto é (A-A)=0 A-v=A+(-v) A+v=B+v ALB A+u=A+v u=v A+(B-A)=B (B-A)=-(A-B) (B-A)=(D-C) (C-A)=(D-B)

Soma de Vetores Há dois métodos para realização de soma vetorial (geometricamente falando): Deslocamento paralelo: Pega-se o segundo vetor e desloca-se paralelamente de tal forma que a sua origem coincida com a extremidade do primeiro vetor. O vetor resultante, ou soma, é o vetor cujo sua origem coincide com a origem do primeiro vetor e sua extremidade com a extremidade do segundo vetor. Método do paralelogramo: Traça-se uma linha paralela a um dos vetores a partir da extremidade do outro vetor e vice versa até que as linhas se coincidam em um ponto. O vetor resultante é o vetor cujo sua origem coincide com a origem de ambos os vetores e a sua extremidade com o ponto de encontro das duas linhas

Exemplos de soma Observe que quando os vetores estão na mesma direção, o vetor resultante está na mesma direção dos vetores originais. Quando a direção dos vetores originais são diferentes, a direção do vetor resultante não é em nenhuma das direções dos vetores originais Soma de quatro vetores.

Propriedades da soma Associativa Comutativa Elemento neutro Elemento oposto

Multiplicação de Vetor por um Escalar Dados: é o vetor a vezes o vetor Definição: Se a=0 ou v=0 então av=0 Se aK0 e vK0 então av é definido como: comprimento: |av|=|a||v| direção: av é paralelo av. sentido:se a>0 o sentido é o mesmo de v. a<0 o sentido é oposto ao de v. Exemplo:

Propriedades Versor de um vetor Para quaisquer vetores u e v E quaisquer escalar a e b reais São válidas as seguintes propriedades. M1. M2. M3. M4 (elemento neutro da operação) Versor de um vetor Se v≠0 o seu versor é um vetor unitário (modulo 1)e possui a mesma direção e mesmo sentido. Representação: versor de v:

P E R G U N T A S ?