Probabilidade e Estatística Exemplo da Moeda Balanceada Paulo Adeodato pjla@cin.ufpe.br

Exemplo Será que uma moeda que dá 450 caras em 1000 lançamentos balanceada ? Como elaborar a questão em termos estatísticos ? Como modelar o problema ?

Modelagem Estatística Fenômeno do Mundo Real Modelo Probabilístico Hipóteses Amostra (X1,X2,...X1000) Dados Situação Específica (instância) Modelo Estatístico (x1,x2,...x1000)

Modelagem-1 Hipótese de independência estatística entre os lançamentos. Sem desgaste Ensaios de Bernoulli Processo Binomial argumentos p e n E daí ? Como resolver o problema ?

Modelagem-2 Estimação do parâmetro p da distribuição ? Supor que a moeda seja balanceada: p = 0,5 Supor um grau de confiança de 95% e calcular o intervalo de confiança Verificar se 450 caras está dentro desse intervalo Mas, como calcular o intervalo de confiança de uma binomial para n=1000 ? Aproximar a binomial pela normal (Teorema Central do Limite)

Distribuição Normal: X~N(,2) Definição Função densidade de probabilidade Função de distribuição acumulada: Não integrável Utiliza-se a tabela da Normal Reduzida: N(0,1)

Distribuição Normal: X~N(,2) Parâmetros Valor esperado Variância

Importância da Distribuição Normal Modela uma série de fenômenos estocásticos Aproxima a distribuição Binomial Aproxima a soma de variáveis aleatórias independentes (Teorema Central do Limite) Somas de variáveis aleatórias independentes (em grande número) obedecem a uma Normal

Gráfico da Distribuição Normal Simétrico em relação ao valor esperado Pontos de inflexão nos pontos a 1 desvio-padrão da média. f(x) x

Transformação da Distribuição Normal Para resolvermos de fenômenos modelados por uma distribuição normal de parâmetros genéricos, precisamos reduzi-la a uma N(0,1), por meio da transformação linear abaixo

Tabela da Distribuição Normal Reduzida: N(0,1) A tabela apresenta os valores: z e (z) onde (z) = P(Z<z) A tabela se encontra no apêndice de todo livro de probabilidade e estatística Os valores podem estar nos domínios: 0  x <  usar a propriedade de simetria -  < x < 

Teorema Central do Limite-1 Sejam X1, X2,.. Xn, variáveis aleatórias independentes. Consideremos, ainda, que: E(Xi ) = i e V(Xi ) = i2 Definamos a variável aleatória Sn, como a soma de todas as Xi. O teorema diz que, quando n tende a infinito, a distribuição de Sn tende a uma Normal. E mais...

Teorema Central do Limite-2 A variável Zn tende a uma distribuição Normal Reduzida:

Teorema Central do Limite Aplicações Esse poderoso teorema faz com que a Normal seja a distrinuição mais importante da Estatística. Exemplos: - A decomposição de um grande projeto em subprojetos para uma melhor estimação de custos e tempo de execução - A implementação de uma resistência elétrica por uma série de resistores em vez de apenas 1, todos de mesma precisão

Teorema Central do Limite Aplicações Consideremos um o caso onde X1, X2,.. Xn, além de variáveis aleatórias independentes, sejam identicamente distribuídas (como na estimação de parâmetros) e que tenham E(Xi ) =  e V(Xi ) = 2 Assim o teorema se reduz a:

Teorema Central do Limite Sejam X1, X2,.. Xn, variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Temos: Ou, a média aritmética das observações tendem ao valor esperado da variável aleatória X.

Aproximação da Binomial pela Normal A convergência é probabilística. Ela se fundamenta na existência da chamada regularidade estatística. Essa lei é a base para a estimação de parâmetros pelo método dos momentos (a ser vista).

Aproximação da Binomial pela Normal-1 Imaginemos o problema de dizer qual é a probabilidade de uma moeda equilibrada, em 1000 lançamentos produzir entre 400 e 600 caras. O processo segue uma distribuição Binomial mas o cálculo envolvido é laborioso demais. O teorema central do limite é a chave para a solução.

Aproximação da Binomial pela Normal-2 Definição da Binomial com parâmetros n e p: Utilizando a aproximação de Stirling:

Aproximação da Binomial pela Normal-3 Fazendo a transformação linear já conhecida: chegamos à equivalência, quando n  

Intervalo de Confiança (I.C.) Em estatística, inferências (a partir de dados) não são definitivas inquestionáveis: devem ser sempre apresentadas com os intervalos de confiança associados Nós apenas medimos os fenômenos do mundo real em observações discretas e generalizamos as conclusões para todo o domínio Há sempre um erro ao processo de generalização

Exemplos de Afirmações / Perguntas O parâmetro  se encontra no intervalo (a,b) com nível de confiança de 90%. Os processos A e B são iguais com o nível de confiança de 95%. Será o processo A melhor que o B com o nível de significância de 1% ? Será que a condição K interfere no processo A com um nível de confiança de 95% ?

Intervalo de Confiança (I.C.) P(a    b) = 1 -  onde: : valor esperado do parâmetro (desconhecido) (a,b): intervalo de confiança (variável aleatória) : nível de significância 100(1 - ) “ de confiança (1 - ) coeficiente de “

Métodos para Determinar o Intervalo de Confiança Quantis de k médias Teorema Central do Limite (a partir de 1 média) Aproximação pela distribuição normal (n30) Aproximação pela distribuição t de Student (n<30)

Método dos Quantis de k Médias-1 Tomam-se k amostras {{1x1, 2x1,..., nx1},..., {1xk, 2xk,..., nxk}} de n exemplos Calculam as k médias Colocam-se as k médias em ordem crescente

Método dos Quantis de k Médias-2 Tomam-se as [1+/2(k-1)] e [1+(1-  /2)(k-1)]-ésimas médias como limites inferior e superior do I.C. de nível de significância , respectivamente

Exemplo: Quantis de 100 Médias a 90% de Nível de Confiança-1 Tomam-se 100 amostras {x1 , x2,.., xn} de n exemplos Calculam-se as 100 médias Colocam-se as 100 médias em ordem crescente Toma as [1+0,05(100-1)] e [1+(1-0,05)(100-1)]-ésimas médias como limites inferior e superior a b

Métodos do Teorema Central do Limite-1 Toma-se 1 amostra {x1 , x2,.., xn} de n exemplos Calcula-se a média da amostra [segue uma V.A. de distribuição N(,2/n)] Calcula-se a variância da amostra

Métodos do Teorema Central do Limite-2 Faz-se a transformação para a normal reduzida N(0,1) Consulta-se na tabela o quantil z[1-/2] da normal reduzida Encontra o intervalo de confiança (a,b)

Métodos do Teorema Central do Limite-3 Toma-se 1 amostra {x1 , x2,.., xn} de n exemplos Calcula-se a média da amostra [segue uma V.A. de distribuição normal] Calcula-se a variância da amostra [uma V.A. de distribuição 2()]

Métodos do Teorema Central do Limite-4 Faz-se a transformação para a t de Student com  graus de liberdade Consulta-se na tabela o quantil t[1-/2;] da t de Student Encontra o intervalo de confiança (a,b)

Comparação entre os Métodos Quantis de k médias bom para interpretar Intervalo de Confiança mas trabalhoso e caro Teorema Central do Limite (a partir de 1 média) Baixo custo  mais utilizado Aproximação pela distribuição normal (n  30) Aproximação pela distribuição t de Student (n < 30 e  desconhecido)

Intervalo de Confiança de um Lado Apenas Se dois métodos são utilizados para produzir algum resultado, como poderemos afirmar que o método A seja melhor que o B? Nesses casos, tomamos o intervalo de confiança do limite inferior a  ou de - ao limite superior.