FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS E APLICAÇÕES PROFESSOR: Marciel da Silva

Introdução Faremos agora um estudo sobre as Funções Exponenciais e Logarítmicas que tem aplicações em várias áreas do conhecimento, por exemplo, na Química quando se fala em radiatividade ou o cálculo de pH em ácidos.

Revisão de Potenciação Potência com expoente Natural – Dados um número real positivo a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an que é igual ao produto de n fatores iguais a a. Obs: a0 = 1 e an=an-1.a

Revisão de Potenciação Inteiro negativo - Dado qualquer , devemos ter, para a≠0: Racional – Dado e define-se potência de base a e expoente pela relação:

Revisão de Potenciação Irracional – Vamos dar significado às potências do tipo an, em que , e o expoente n é um número irracional. Por exemplo, Usamos aproximações racionais para . E assim obtemos

Revisão de Potenciação Real – Considerando que já foram definidos anteriormente as potências de base a ( ) e expoente n (n racional ou irracional) então já está definida a potência an com e . São válidas as propriedades:

Função Exponencial Definição: Dado um número real a (a > 0 e a≠1) , denomina-se função exponencial de base a a uma função f de em definida por f(x) = ax ou y = ax . Exemplos

Gráfico da Função Exponencial Vamos construir e analisar os gráficos das funções f(x) = 2x e f(x) = (1/2)x. Podemos concluir então que: D(f) = , CD(f) = , Im(f) = ; O gráfico é uma curva chamada curva exponencial que passa por (0,1); O gráfico não toca o eixo-x e não tem pontos nos quadrantes III e IV.

Gráfico Para a > 1 a função é crescente; Para 0 < a <1 a função é decrescente; A função exponencial é sobrejetiva; A função exponencial é injetiva; A função exponencial é bijetiva; A função exponencial é ilimitada superiormente.

Equações Exponenciais São aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Exemplos: Para resolver usamos o fato de que a função exponencial é injetiva, ou seja, para a > 0 e a≠1, temos:

Equações Exponenciais Vamos resolver as equações:

Logaritmo de um número Definição Dados os números reais positivos a e b, com a ≠1, se b = ac, então o expoente c chama-se logaritmo de b na base a, ou seja, Com a e b positivos e a≠1.

Consequências da definição loga1 = 0 logaa = 1 logax = logay⇔x = y

Propriedades operatórias dos logaritmos 1- 2 - 3 - 4 -

Função Logarítmica Dado um número real a (0 < a≠1) chamamos função logarítmica de base a a função de em que associa a cada x o número logax. Em símbolos:

Gráfico da função logarítmica Vamos construir e analisar os gráficos das funções e . Conclusões: O gráfico passa por (1,0); O gráfico nunca toca o eixo-y e não ocupa pontos nos II e III quadrantes; a > 1, a função é crescente; 0 < a < 1, a função é decrescente; Somente números positivos tem logaritmo real; A função logarítmica é bijetiva.

Uma relação importante Os gráficos das funções f(x) = 2x e g(x) = log2x são simétricas em relação a reta y = x (bissetriz dos quadrantes I e III).

Aplicações Na América Latina, a população cresce a uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma? Em uma cultura de bactérias, a população dobra a cada hora. Se há 1000 bactérias no início da experiência, calcule quantas bactérias existirão depois de 10 horas.