Instrumentos de Segunda Ordem A definição matemática de equação de segunda ordem: Para o caso somente são importantes os parâmetros a2, a1, a0 e b0

Manipulações Algébricas da Equação de 2a ordem

Raízes para o Sistema masa-mola-amortecedor (sub-amortecido)

Definições para a Equação de 2a Ordem Freqüência Natural não amortecida Sensibilidade Estática é chamado de coeficiente de amortecimento

Definições para a Equação de 2a Ordem Freqüência Natural não amortecida (rad/seg) Sensibilidade Estática coeficiente de amortecimento (adimensional)

Usando as Definições

Função de Transferência de um Sistema de 2o grau

Um sistema Masa-Mola-Amortecedor k c Sistema Mecânico com Mola e Amortecedor m F

Identificando entradas e saídas do sistema A saída do sistema será identificada como o deslocamento da massa Denominaremos este deslocamento de x k c m F Podemos identificar como entrada a força externa aplicada ao sistema

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico (neste caso de segunda ordem) Um primeiro passo é abstrair os elementos mecânicos Neste caso nos importam os com os efeitos destes elementos sobre o Sistema Em particular, nos interessam as forças ligadas a estes elementos F_mola F_amortecedor m F_aplicada

+ O Caminho para obter um Modelo Dinâmico Tomando uma convenção podemos estabelecer sinais para as forças: para acima = positivo F_mola F_amortecedor + m F_aplicada

+ O Caminho para obter um Modelo Dinâmico m F_mola F_amortecedor + m F_aplicada Agora podemos aplicar a 2a lei de Newton:

+ O Caminho para obter um Modelo Dinâmico F_mola F_amortecedor + m F_aplicada Neste caso, obtemos a equação: F_aplicada - f_mola - f_amortecedor = ma

F_aplicada - kx - cv = ma O Caminho para obter um Modelo Dinâmico Na equação podemos identificar facilmente os elementos: F_aplicada - f_mola - f_amortecedor = ma F_amortecedor = cv c = constante do amortecedor v = velocidade F_mola = kx k = constante da mola x = deslocamento Podemos obter, então: F_aplicada - kx - cv = ma

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico Podemos assumir as convenções: aceleração = a = velocidade = v = Força_aplicada = F

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico Desta maneira, o nosso modelo fica: F_aplicada - kx - cv = ma Na verdade o nosso modelo está representado por uma equação ordinária de segundo grau

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico Fazendo manipulações algébricas temos: Este modelo pode ser trabalhado usando Transformada de LAPLACE Queremos levar o nosso modelo para o Domínio D

O Caminho para obter um Modelo Dinâmico Aplicando o operador D temos:

Obtendo a Função de Transferência Desta maneira podemos obter a expressão: Esta equação representa um relação entre entrada e saída do sistema Esta forma é denominada de Função de Transferência

Raízes para o Sistema masa-mola-amortecedor (sub-amortecido)

Raízes para o Sistema masa-mola-amortecedor (sub-amortecido) p e denominado de “decay rate” p é denominada de freqüência natural amortecida correspondente à freqüência natural não-amortecida n . Assumimos p < n

Aplicando as nossas Definições Freqüência Natural não- amortecida (rad/seg) Sensibilidade Estática coeficiente de amortecimento (adimensional)

Aplicando as nossas Definições

Resposta ao Degrau qis Cond. Ini.:

A Solução da Equação Diferencial de 2o grau Solução Particular: qopi = Kqis Solução da função complementar (homogênea): Caso 1: raízes reais diferentes (caso sobre-amortecido) Caso 2: raízes reais iguais (caso criticamente amortecido) Caso 3: raízes conjugadas complexas (caso sub-amortecido)

Obtendo as raízes da Equação Característica Discriminante

Solução para raízes reais e diferentes (Caso 1: sobre-amortecido) Avaliando Condições Iniciais obtemos os valores para C1 e C2 qo(t=0+) = 0 qo´ (t=0+) = 0

Solução para raízes reais e diferentes (Caso 1)

Solução para raízes reais iguais (Caso 2: criticamente amortecido) Avaliando Condições Iniciais obtemos os valores para C1 e C2

Solução para raízes reais iguais (Caso 2)

Solução para raízes reais e iguais (Caso 2)

Solução para raízes Conjugadas Complexas (Caso 3: sub-amortecido) Forma da solução homogênea

Solução para raízes Conjugadas Complexas (Caso 3)

Solução para raízes Conjugadas Complexas (Caso 3)

Resposta a Rampa para Instrumentos de Segunda Ordem Cond. Ini.:

Solução para raízes reais e diferentes (Caso 1: sobre-amortecido) Para este caso a solução é:

Solução para raízes reais e diferentes (Caso 2: criticamente amortecido) Para este caso a solução é:

Solução para raízes reais e diferentes (Caso 3: sub-amortecido) Para este caso a solução é: Onde:

Erro e Atraso de Estado Estacionário Erro de Estado Estacionário: Atraso em Estado Estacionário: O erro estacionário pode ser reduzido incrementando n ou reduzindo 

Erro de medida adimensional para a função Rampa Para um dado n decrementos em  levam a grandes oscilações