Equações Diferenciais Ordinárias Prof. Guilherme Jahnecke Weymar AULA MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Fonte: Boyce, Bronson, Zill, diversos internet

+ Queda livre de objetos O objetivo é saber qual a posição do objeto em função do tempo! (tempo que atinge o solo) Queda livre de objetos Lei Física: 2ª Lei de Newton FORÇA PESO 𝑖 𝐹 𝑖 = 𝐹 𝑅 = 𝑚.𝑎 Aproximação 𝑃=−𝑚.𝑔=𝑚. 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2

Queda livre de objetos Condições Iniciais −𝑔= 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 −𝑔= 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 𝑣 𝑡=0 = 𝑣 0 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 (𝑡=0) 𝑥 0 =𝑥 (𝑡=0) Solução....

Considerando a resistência do ar sobre o paraquedista! + Queda livre de objetos Considerando a resistência do ar sobre o paraquedista! Lei Física: 2ª Lei de Newton 𝑖 𝐹 𝑖 = 𝐹 𝑅 = 𝑚.𝑎 𝑃− 𝐹 𝑎𝑟 =−𝑚.𝑔−𝑘 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 =𝑚. 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2

Queda livre de objetos −𝑃− 𝐹 𝑎𝑟 =−𝑚.𝑔−𝑘 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 =𝑚. 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 −𝑃− 𝐹 𝑎𝑟 =−𝑚.𝑔−𝑘 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 =𝑚. 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 −𝑃− 𝐹 𝑎𝑟 =−𝑚.𝑔−𝑘 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝑚. 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2

Corrente em circuito RLC Comportamento da carga elétrica do capacitor em um circuito composto por um Resistor (R) , um Indutor (I) e um Capacitor (C), alimentado por uma fonte de tensão (E0) Diz: Diferença de potencial em um circuito fechado é igual à soma das voltagens em cada componente do circuito. q(𝒕) 2ª Lei de Kirchhoff 𝐸 0 𝑡 = 𝑉 𝐿 + 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐶 𝐸 0 𝑡 =𝐿. 𝑑 2 𝑞 𝑑 𝑡 2 +𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 𝑞 𝐶

Corrente em circuito RL 𝐸 0 𝑡 =𝐿. 𝑑 2 𝑞 𝑑 𝑡 2 +𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 𝑞 𝐶 Solução.... Se 𝐸 0 𝑡 =0, as oscilações elétricas do circuito são ditas livres. 0=𝐿. 𝑑 2 𝑞 𝑑 𝑡 2 +𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 𝑞 𝐶 →0=𝐿. 𝜆 2 +𝑅𝜆+ 1 𝐶 Existirão 3 formas de solução, que dependem de 𝑅 2 −4𝐿/𝐶: - Sobreamortecido: 𝑅 2 − 4𝐿 𝐶 >0 Criticamente amortecido: 𝑅 2 − 4𝐿 𝐶 =0 Subamortecido: 𝑅 2 − 4𝐿 𝐶 <0 Em cada um dos casos temos: 𝑒 −𝑅𝑡/2𝐿 , 𝑞 𝑡 →0 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡→∞

Deflexão 𝒚(𝒙) é governada por uma E. D. de 4ª ordem Deflexão de uma viga Problema: Vigas ou traves, se defletem ou distorcem em decorrência do seu próprio peso ou sob influência de alguma força externa. Deflexão 𝒚(𝒙) é governada por uma E. D. de 4ª ordem

Deflexão de uma viga x y Simplificações: Viga de comprimento 𝑳 homogênea; Seção transversal uniforme ao longo do seu comprimento; Na ausência de qualquer carga na viga, tem-se o eixo de simetria x Supomos: A curva de deflexão se aproxima do formato da viga; Eixo X coincida com o eixo de simetria; A deflexão y(x), medida a partir do eixo de simetria, seja positiva quando for para baixo. y

Deflexão de uma viga Teoria da Elasticidade: Mostra que o momento de inclinação 𝑀(𝑥) em um ponto x ao longo da viga está relacionado à carga por unidade de comprimento [𝜔(𝑥)] pela equação: 𝑑 2 𝑀 𝑑 𝑥 2 =𝜔(𝑥) Onde o momento de inclinação 𝑀(𝑥) é proporcional à curvatura 𝜅 da curva elástica: 𝑀 𝑥 =𝐸.𝐼.𝜅 𝐸 é o módulo de elasticidade de Young do material da viga; 𝐼 momento de inércia de uma seção transversal da viga. 𝐸.𝐼 conhecido como rigidez flexural da viga. Note que: Quando a deflexão for pequena, o coeficiente angular 𝑦′≈0 o que implica: 𝜅≈𝑦′′ 𝜅= 𝑦′′ [1+ (𝑦′) 2 ] 3/2

Deflexão de uma viga 𝑀 𝑥 =𝐸.𝐼.𝑦′′ Logo, temos: 𝑑 2 𝑀 𝑑 𝑥 2 = 𝑑 2 (𝐸.𝐼.𝑦′′) 𝑑 𝑥 2 =𝐸.𝐼. 𝑑 2 𝑦′′ 𝑑 𝑥 2 =𝐸.𝐼. 𝑑 4 𝑦 𝑑 𝑥 4 𝜔(𝑥) Problema de Valor de Contorno: Dependem de como as extremidades da viga estão sendo apoiadas Viga em balanço: está encaixada ou grampeada em uma das extremidades e livre na outra. Exemplos: Trampolim, uma asa de avião, uma sacada, etc. Note que árvores e arranha-céus podem atuar como vigas em balanço. Extremidade encaixada: 𝑦 0 =0 → 𝑛ã𝑜 ℎá 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑦 ′ 0 =0 →𝑦 𝑥 é 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. Extremidade livre: 𝑦 ′′ (𝐿)=0 → 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 é 0. 𝑦′′′(𝐿)=0 →𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 é 0.

Deflexão de uma viga 𝐹𝑐𝑖𝑠.=𝐸.𝐼. 𝑑 3 𝑦 𝑑 𝑥 3 Condições de Contorno: 𝐹𝑐𝑖𝑠.=𝐸.𝐼. 𝑑 3 𝑦 𝑑 𝑥 3 Condições de Contorno: Extremidades da Viga Condições de Contorno Encaixada y=0 e y’=0 Livre Y’’=0 e y’’’=0 Simplesmente Apoiada ou Curvada y=0 e y’’=0

Sistema Massa-Mola Lei de Hooke: “A mola por si só exerce uma força restauradora 𝐹 𝑟𝑒𝑠𝑡 oposta à direção de alongamento e proporcional à quantidade de alongamento s.” 𝐹 𝑟𝑒𝑠𝑡 =𝑘.𝑠 Constante da mola – esta ligada diretamente com as características físicas do material da mola. Sistema Massa-Mola fora da posição de equilíbrio.

Sistema Massa-Mola

Sistema Massa-Mola Aproximações: Não existe forças de retardo atuando no sistema; - Massa oscile livre de forças externas. Lei Física: 2ª Lei de Newton X 𝑖 𝐹 𝑖 = 𝐹 𝑅 = 𝑚.𝑎 Posição de Equilíbrio 𝐹 𝑅𝑒𝑠𝑡 =𝑘(𝑠+𝑥) 𝑚. 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =𝑚𝑔−𝑘 𝑠+𝑥 =−𝑘𝑥+𝑚𝑔−𝑘𝑠

Sistema Massa-Mola Equação Diferencial do movimento não-amortecido livre: 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 + 𝜔 2 𝑥=0 Onde: 𝜔 2 = 𝑘 𝑚 Condições iniciais do problema: - 𝑥 0 = 𝑥 0 quantidade inicial deslocada; - 𝑥′ 0 = 𝑥 1 velocidade inicial da massa.

Sistema Massa-Mola Solução: 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 + 𝜔 2 𝑥=0→ 𝜆 2 + 𝜔 2 =0 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 + 𝜔 2 𝑥=0→ 𝜆 2 + 𝜔 2 =0 Onde:𝜆1=𝜔𝑖; 𝜆2=−𝜔𝑖 Solução Geral: - 𝑥 𝑡 = 𝑐 1 cos 𝜔𝑡 + 𝑐 2 sen 𝜔𝑡 Forma Alternativa: 𝑥 𝑡 =𝐴 sen 𝜔𝑡+𝜙 Onde 𝐴= 𝑐 1 2 + 𝑐 2 2 𝑠𝑒𝑛 𝜙 = 𝑐 1 /𝐴 cos 𝜙 = 𝑐 2 /𝐴 tan 𝜙 = 𝑐 1 / 𝑐 2

Sistema Massa-Mola: Movimento Amortecido Livre Existe uma força de resistência decorrente do meio que a envolve: Forças de Amortecimento atuando sobre o corpo são consideradas como sendo proporcionais a uma potência da velocidade instantânea. 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ∝ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑚. 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =𝑚𝑔−𝑘 𝑠+𝑥 −𝛽 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =−𝑘𝑥−𝛽 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 + 𝛽 𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑘 𝑚 𝑥=0 Tomando: 2γ= 𝛽 𝑚 e 𝜔 2 = 𝑘 𝑚

Sistema Massa-Mola: Movimento Amortecido Livre 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 +2γ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝜔 2 𝑥=0→ 𝜆 2 +2γ𝜆+ 𝜔 2 =0 𝜆 1 =−γ+ γ 2 − 𝜔 2 𝜆 2 =−γ− γ 2 − 𝜔 2 1º Caso: γ 2 − 𝜔 2 >0 Sistema é dito ser sobreamortecido. 𝛽 é grande comparado com a constante da mola. 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝛾𝑡 (𝑐 1 𝑒 γ 2 − 𝜔 2 .𝑡 + 𝑐 2 𝑒 − γ 2 − 𝜔 2 .𝑡 ) 2º Caso: γ 2 − 𝜔 2 =0 Criticamente amortecido 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝛾𝑡 (𝑐 1 + 𝑐 2 𝑡) 3º Caso: γ 2 − 𝜔 2 <0 Sistema é dito ser subamortecido. 𝛽 é pequeno comparado com a constante da mola. 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝛾𝑡 (𝑐 1 cos −γ 2 + 𝜔 2 𝑡 + 𝑐 2 sen −γ 2 + 𝜔 2 𝑡