CONE
Cone Vamos considerar um círculo C, de centro O e de raio r, em um plano , e um ponto V não pertencente ao plano . Chamamos de cone circular, ou apenas cone, a reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e outra em um ponto de C.
Elementos do cone
Classificação dos cones O cone pode ser classificado de acordo com a inclinação do eixo em relação ao plano que contém a base: se o eixo não é perpendicular ao plano que contém a base, então o cone é oblíquo (h < ). se o eixo é perpendicular ao plano que contém a base, então o cone é reto (h = ). cone oblíquo cone reto
Observações Um cone circular reto também é denominado cone de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de uma superfície triangular, determinada por um triângulo retângulo, em torno de uma reta que contém um de seus catetos. A medida desse cateto será igual à altura do cone, e a medida do outro cateto será igual à medida do raio da base do cone.
Secção meridiana de um cone Uma secção meridiana de um cone é determinada pela intersecção do cone com um plano que contenha seu eixo.
Observações Se um cone reto tem medida da geratriz igual ao dobro da medida do raio da base (g = 2r), ele é chamado de cone equilátero. Se um cone é equilátero, então sua secção meridiana é uma triângulo equilátero
Secção transversal de um cone Uma secção transversal de um cone é a intersecção do cone com um plano paralelo ao plano da base e que não passe por seu vértice.
Planificações da superfície de um cone reto
Planificações da superfície de um cone reto
Relações entre os elementos de um cone reto
Área da superfície e volume de um cone reto Abase = r2 Alateral = rg Atotal = r(r + g) Vcone = r2h
Exercícios 1. Calcular o comprimento da circunferência da base e a altura de um cone reto cuja geratriz mede 13 cm e cujo raio mede 5 cm. Resolução O comprimento da circunferência da base é dado por C = 2r. Sabemos que o cone tem raio de medida r = 5 cm. Assim: C = 2 ∙ ∙ 5 ⇒ C = 10 ⇒ C ≃ 31,4 Portanto, o comprimento da circunferência da base é aproximadamente 31,4 cm. Sabendo que o cone é reto, podemos obter a altura por meio de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a geratriz e as medidas dos catetos são a altura e o raio da base do cone. Assim: Portanto, a altura do cone é 12 cm.
Exercícios 2. Um cone reto de altura 10 cm tem por planificação da superfície lateral um setor circular de ângulo medindo 150º. Determinar o raio da base e a medida da geratriz do cone. Resolução: Como r2 + h2 = g2, temos: r2 + 102 = g2. Logo: g2 – r2 = 100 (I) Como : , temos: 150º= (II) De (I) e (II), concluímos que: ⇒ ⇒ Portanto, o raio da base do cone mede aproximadamente 4,58 cm. Como , o comprimento da geratriz mede aproximadamente 11 cm.
Exercícios 3. Calcule a área lateral de um cone reto cuja altura é 16 cm e cujo raio da base mede 12 cm. Resolução: Inicialmente vamos obter o comprimento da geratriz do cone: Portanto, o comprimento da geratriz do cone é 20 cm. A área lateral do cone é: Alateral = rg ⇒ Alateral = ∙ 12 ∙ 20 ⇒ Alateral = 240 ⇒ ⇒ Alateral ≃ 753,6 Logo, a área lateral do cone é 240 cm2 ou aproximadamente, ≃ 753,6 cm2.
Exercícios 4. Determinar a área total da superfície de um cone equilátero de geratriz g. Resolução: Vamos considerar um cone equilátero de raio da base r, comprimento da geratriz g e altura h. Sabemos que, no cone equilátero, g = 2r; portanto: r = Logo: Atotal = Alateral + Abase Atotal = ∙ r ∙ g + ∙ r2 Atotal = ∙ ∙ g + ∙ = ∙ ∙ g2 Portanto: Atotal = g2
6. (Fuvest – SP) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura.