Distribuições Contínuas de Probabilidade

Objetivos Apresentar a Distribuição de Probabilidade Normal Apresentar a Distribuição de Probabilidade Normal Resolver problemas de probabilidade que envolvem a Distribuição Normal Resolver problemas de probabilidade que envolvem a Distribuição Normal Interpretar o gráfico da Distribuição Normal Interpretar o gráfico da Distribuição Normal

Variáveis Aleatórias Variável Numérica (Quantitativa) Categórica (Qualitativa) Discreta Contínua

Variável Aleatória Contínua Número inteiro ou fracionário Número inteiro ou fracionário Obtido por meio de medição Obtido por meio de medição Números infinitos ou valores em intervalos Números infinitos ou valores em intervalos

Variável Aleatória Contínua - Exemplos ExperimentoVariável Aleatória Possíveis Valores Peso de 100 PessoasPeso45.1, 78,... Horas trabalhadas por dia Horas8, 6.5, 7.1,... Despesa com alimentação Despesa54, 42,... Medir o tempo entre a chegada dos carros Tempo em minutos 0, 1.3, 2.78,...

Variável Aleatória Contínua - Exemplos ExperimentoVariável Aleatória Possíveis Valores Operar um bancoTempoX ≥ 0 Encher uma garrafa de 1 litro Nº de ml0 ≤ x ≤ 1 Trabalhar em um projeto % do término 0 ≤ x ≤ 100%

Função de Densidade de Probabilidade Fórmula Matemática Fórmula Matemática Mostra todos os valores, X, e as Freqüências, f(X) Mostra todos os valores, X, e as Freqüências, f(X) f(X) Não é Probabilidade f(X) Não é Probabilidade Propriedades Propriedades (área sob a curva) Valor (Valor, Freqüência) Freqüência f(X) ab X fXdx fX () () a X b ∫   1 0

Probabilidade de uma V.A. Contínua Probabilidade é a área sob a curva! © T/Maker Co. PcXdfXdx c d ()()  f(X) ab X cd ∫

Modelos de Distribuição Contínua Distribuição Contínua de Probabilidade Normal Outras

Desafio… O valor sacado diariamente de um caixa eletrônico tem distribuição Normal com média de R$ e desvio-padrão de R$10.000). Quanto em dinheiro o caixa deverá ter, por dia, para que a probabilidade de faltar dinheiro seja menor do que 5%?

Importância da Distribuição Normal Descrição de vários processos e fenômenos Descrição de vários processos e fenômenos Pode ser usada para aproximar algumas distribuições discretas Pode ser usada para aproximar algumas distribuições discretas É a base da Inferência Estatística É a base da Inferência Estatística

Distribuição Normal Forma de ‘Sino’ – Simétrica Forma de ‘Sino’ – Simétrica Média = Moda = Mediana Média = Moda = Mediana Média Moda Mediana X f(X)

Distribuição Normal Média (  ) Média (  ) Desvio-Padrão (  ) Desvio-Padrão (  )  ++ X  -  

Distribuição Normal Função de Densidade f(X)=função de densidade da Normal f(X)=função de densidade da Normal  = ; e =  = ; e =  x =desvio-padrão populacional  x =desvio-padrão populacional X=valor da variável aleatória (-  < X <  ) X=valor da variável aleatória (-  < X <  )  x =média populacional  x =média populacional fX x X x x ()       e []

Efeito da Variação dos Parâmetros (  x &  x ) X f(X) CA B

Probabilidade Distribuição Normal Probabilidade é a área sob a curva! cd X f(X) PcXdfXdx c d ()() ?   ∫

Tabela de Distibuição Normal As Distribuições diferem na média e no desvio-padrão. Seria necessário uma tabela para cada distribuição. Infinitas Tabelas! X f(X)

 Z = 0  z  = 1 Z Distribuição Normal Padronizada Uma Tabela! Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada X  X  X Z X x x   

Padronização de dados Cálculo da probabilidade: usa-se a distribuição padronizada, com média zero e desvio padrão 1. Cálculo da probabilidade: usa-se a distribuição padronizada, com média zero e desvio padrão 1. Padronizando valores: Padronizando valores: Deslocar o valor da média para zero. Deslocar o valor da média para zero. Mudar a escala, dividindo os valores pelo desvio padrão, que passa a ser 1. Mudar a escala, dividindo os valores pelo desvio padrão, que passa a ser 1.

Z  Z = 0  Z = 1.12 Exemplo de Padronização Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada X  X = 5  X = Z X x x       

Z  Z = 0  Z = 1.12 Z Encontrando uma Probabilidade Tabela de Probabilidade Normal Padronizada Probabilidades

Z  Z = 0  Z = Exemplo P(3.8  X  5) Distribuição Normal.0478 Distribuição Normal Padronizada X  X = 5  X = Z X x x       

0  Z = Z.21 Exemplo P(2.9  X  7.1) Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada 5  X = X Z X Z X x x x x              

Z  Z = 0  Z = 1.30 Exemplo P(X  8) Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada Z X x x        X  X = 5  X = 10 8

 z = 0  Z = 1.30 Z.21 Exemplo P(7.1  X  8) Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada Z X Z X x x x x                x = 5  X = X

Desafio… Você trabalha no setor de Controle de Qualidade da GE. A vida útil de uma lâmpada tem Distribuição Normal com m x = 2000 horas & s x =200 horas. Qual é a probabilidade de uma lâmpada durar: entre 2000 & 2400 horas? entre 2000 & 2400 horas? Menos de 1470 horas? Menos de 1470 horas?

Z  Z = 0  Z = Solução* P(2000  X  2400) Distribuição Normal.4772 Distribuição Normal Padronizada Z X x x        X  X = 2000  X =

Z  Z = 0  Z = Solução* P(X  1470) Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada Z X x x        X  X = 2000  X =

Z Z  Z = 0  Z = 1.31 Consultando a Tabela da Normal Tabela da distribuição Normal Padronizada Qual é o Z dado P(Z) =.1217?

Z  Z = 0  Z = 1.31 X  X = 5  X = 10 ? Achando um Valor X para uma Probabilidade Conhecida Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada.1217 XZ xx 

Áreas sob a curva para a distribuição Normal 68,26% 95,44% ???  +1   +3  XX  +2   x -3   -1  x  -2  