VOLUME POR FATIAMENTO E MÉTODO DA ARRUELA

Apresentação em tema: "VOLUME POR FATIAMENTO E MÉTODO DA ARRUELA"— Transcrição da apresentação:

1 VOLUME POR FATIAMENTO E MÉTODO DA ARRUELA
UNIVERSIDADE FEDFERAL DO SEMI ÁRIDO BACHARELADO EM CIÊNCIAS E TECNOLOGIA VOLUME POR FATIAMENTO E MÉTODO DA ARRUELA ANGICOS-2010

2 ALUNOS: ANGLEDJA NAUTCHELLI ANTONIA WEDNA CAMILA INGRYD
DAMMYAO ERYSFRANNCYS HIDELBRANDO MAGNO PATRICIA KALINE PAULA FRANSSINETTI REGMA RAYANNE VANESSA MARIA

3 INTRODUÇÃO Volume por fatiamento. O método do anel ou da arruela
Predefinição; Volume cilíndrico; Definição de volume; Principio de Cavaliere. O método do anel ou da arruela

4 Predefinição Fig.1 Uma seção transversal do solido S formada pela
Para definir volumes de sólidos cujas seções transversais são regiões planas(formada pela interseção entre S e um plano). Fig.1 Uma seção transversal do solido S formada pela interseção entre S e um plano Px perpendicular ao eixo x passado pelo o ponto x no intervalo [a,b].

5 Volume cilíndrico Volume = Área da base x Altura = A ∙ h
Fig.2 Sempre definimos o volume de um sólido cilíndrico como sua area de base vezes sua altura.

6 Essa equação serve de base para definirmos os volumes de muitos sólidos não cilíndricos usando o método do fatiamento. Fig.3 Uma típica fatia fina do sólido S.

7 Fig. 4 A fatia fina do sólido mostrada na Fig
Fig.4 A fatia fina do sólido mostrada na Fig .3 é aproximada pelo sólido cilíndrico com base R(xk) que tem area A(xk) e altura

8 Definição: Volume O volume de um sólido compreendido entre os planos x = a e x = b e cuja área da secção transversal por x é uma função integrável A(x), é a integral de a até b de A:

9 Calculando o volume de um sólido
Esboce um sólido e uma seção transversal típica. Encontre uma formula para A(x), a área da seção transversal típica. Encontre o limite de integração. Integre A(x) usando o teorema fundamental.

10 Exemplo1: Uma pirâmide com 3m de altura tem uma base quadrada com 3m de lado. A seção transversal da pirâmide, perpendicular a altura x m abaixo do vértice, é um quadrado com x m lado. Determine o volume da pirâmide. Fig.5 As seções transversais da pirâmide é quadrada, ou seja, a área A(x) = x².

11 Principio de Cavaliere
Sólidos com a mesma altura e com área de seção transversais iguais em cada altura, tem o mesmo volume. Fig.6 Esses sólidos tem o mesmo volume, o que pode ser ilustrado usando pilhas de moedas.

12 Exemplo2: Uma cunha curva foi obtida por meio do corte de um cilindro de raio 3 por dois planos. Um deles é perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo cruza o primeiro formando um ângulo de 45° no centro do cilindro. Determine o volume da cunha. Fig.7 A cunha foi fatiada perpendicularmente ao eixo x. As seções transversais são retângulos.

13 O método da arruela ou do anel
Se a região que giramos para gerar um sólido não atingir ou cruzar o eixo da revolução o sólido resultante terá um orifício no meio. Fig.8

14 As seções transversais perpendiculares ao eixo das revoluções serão arruelas.As dimensões de uma arruela típica são: Raio externo: R(x) Área da arruela é : Raio interno: r(x) De acordo com a definição de volume, temos:

15 As seções transversais do sólido de revolução gerado aqui são
Fig.9 Fig.10 As seções transversais do sólido de revolução gerado aqui são arruelas, não discos, portanto a integral tem uma fórmula ligeiramente diferente.

16 Exemplo3: A região limitada pela curva y = x² + 1 e pela reta y = −x+3 gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do sólido. Fig.11 A região cortada por um segmento de reta perpendicular ao eixo da evolução.

17 Fig.12 Quando a região gira em torno do eixo x, o segmento
de reta gera uma arruela.

18 Conclusão Diante de algumas das aplicações de integrais definidas aqui vistas o Volume por fatiamento e o Método das arruelas são muito usadas em diversas áreas. Para determinar volume de peças com orifício em seu centro.