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Conteúdo: Profª Maria Cristina Kessler Implementação: Prof. Claudio Gilberto de Paula.

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1 Conteúdo: Profª Maria Cristina Kessler Implementação: Prof. Claudio Gilberto de Paula

2 Neste caderno de exercícios você pode escrever nestas caixas. Note que isto só é possível no modo de apresentação. Se o tamanho da caixa parecer pequeno, para o que você pretende escrever, não se preocupe pois ela irá se adequar ao texto. Para salvar o que escreveu você deve: 1 - Sair do modo de apresentação (clicando no botão esc ); 2 – Salvar. Para continuar trabalhando: Para recomeçar do início da apresentação: clique na tecla F5. Para continuar do ponto onde parou: clique shift + F5 Consulte também o material disponível no site do Ensino Propulsor.Ensino Propulsor Bom trabalho!

3 FUNÇÃO INVERSA Em matemática, o termo inversa é usado para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra. Dada uma função f, dizemos que ela é invertível quando podemos determinar outra função g que "desfaz o serviço de f". Nesse caso, g é denominada a função inversa de f e, portanto, f é a inversa de g. Normalmente, a função inversa de f é representada por f -1. Pergunta: Dada uma função f, como fazemos, na prática, para determinar sua inversa? Vejamos: se temos a função f, significa que para cada valor da variável independente x obtemos, em correspondência, um valor para a variável dependente y. Dom f f Ao procurar a inversa de f pretendemos encontrar a função g que, a cada y na imagem de f associa o x inicial no domínio de f. Em linguagem simples, “o x vira y e o y vira x”. Im g = Dom f Dom g = Im f

4 FUNÇÃO INVERSA Vejamos a função representada no diagrama abaixo: Observe o domínio da função: A = {1,2,3,4} Observe o conjunto imagem da função: B = {3,5,7,9} Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y: Y = Clique aqui para conferir. Clique aqui para conferir. Vamos agora encontrar a função inversa trocando o y pelo x e vice-versa: Agora o domínio da função é: B = {3,5,7,9} e o conjunto imagem A = {1,2,3,4}. O contradomínio da função: A Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y: Y = Clique para conferir. Clique para conferir. A B s4 A B

5 OBSERVE QUE: Tudo isso sugere as seguintes relações: a imagem de f é o domínio de f -1 O domínio de f é a imagem de f -1 domínio de f -1 = domínio de f = imagem de f Imagem de f -1 Para encontrarmos a função inversa de f(x), a f -1 (x) devemos realizar as seguintes etapas: 1 1 trocar x por y e y por x; fica : x = 2y isolar novamente o y, deixando-o em função de x. ou seja f -1 (x) = Considerando a função y = 2x+1,

6 EXEMPLO Considerando a função f(x) = x+2, encontre f -1 (x). Utilizando o winplot construa o gráfico de f(x) e da sua inversa e cole-o no espaço ao lado. Clique aqui para conferir a resposta. Clique aqui para conferir a resposta. Observe que os gráficos dessas funções são simétricos em relação à reta y = x (função identidade).

7 Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f -1 (x). Clique aqui para conferir a resposta. Clique aqui para conferir a resposta. EXERCÍCIOS 1) y = 2x+3 s7

8 Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f -1 (x). Clique aqui para conferir a resposta. Clique aqui para conferir a resposta. EXERCÍCIOS 2) y = x+4

9 Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f -1 (x). Clique aqui para conferir a resposta. Clique aqui para conferir a resposta. EXERCÍCIOS 3) y = x³

10 Vamos agora analisar as condições, a serem cumpridas, para que uma função admita inversa: Vejamos a função representada no diagrama abaixo: O domínio da função: Dom f {1,2,3} e o conjunto imagem {2,4,6}. Cont f : {2,4,6,8}. Se fôssemos agora tentar encontrar a inversa, trocando o x pelo y, teríamos: condiç õs Neste exemplo o conjunto imagem não é igual ao contradomínio da função Observe que não temos uma função, pois o elemento 8 não tem correspondente no conjunto B. Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B. RECORDE A DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

11 Desta forma para que uma função admita inversa algumas condições precisam ser cumpridas: A função precisa ser sobrejetora Analisaremos agora outra situação a partir do diagrama abaixo: condiç õs Uma função é dita sobrejetora quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio da função Na tentativa de encontrar a inversa, troca- se o x pelo y. 2 Observe que este conjunto de pares ordenados não representa uma função. {(1,-1); (1,1), (4, -2); (4,2)} Os elementos 1 e 4 apresentam duas imagens, o que contraria a definição de função. Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y), tal que para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B. RECORDE A DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

12 Desta forma temos outra condição a ser cumprida: A função precisa ser injetora Conclusão: Para que uma função admita inversa ela precisa ser bijetora. condiç õs2 Uma função é dita injetora se, para diferentes valores de x, apresentar diferentes imagens. 2 2 sobrejetora + injetora. Vejamos o seguinte exemplo: Considere-se a função f(x) = x² Esta função, f: R→R com imagem de [0, +∞), não admite inversa pois não é injetora, mas se restringíssemos o domínio da função para f: [0, +∞) →[0, +∞)? Desta forma a função f: [0, +∞) → [0, +∞) com y = x² terá como inversa a função y = + É preciso ficar claro que se uma função não for invertível, é possível estabelecer uma restrição, ou seja, restringir o domínio de tal modo que a função definida nesse novo domínio o seja.

13 Observe os gráficos de f(x)= x², da sua inversa f -1 (x) e de y = x. condic 3

14 EXERCÍCIOS a) Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo, estabelecendo, quando necessário, uma restrição. b) Determine o domínio e imagem de f(x) e de f -1 (x). c) Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria. Exerc. 1 Clique aqui para conferir. 1 1 y = x² + 1 Dom f: Dom f -1 Im f: Im f -1

15 EXERCÍCIOS Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo estabelecendo, quando necessário uma restrição. Determine o domínio e imagem de f(x) e de f -1 (x). Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria. Exerc. 2 Clique aqui para conferir. 2 2 y = x² - 3 Dom f: Dom f -1 Im f: Im f -1

16 Resp 1 RESPOSTA: y = 2x+1

17 Resp 2 RESPOSTA:

18 Resp 3 RESPOSTA: 1) f = 2x+3

19 Resp 3a RESPOSTA: 2) f = x+4 f -1 = x+4

20 Resp 3aa RESPOSTA: 3) y = x³

21 Resp 4 RESPOSTA: Dom f: [0,+∞) Dom f -1 : [1, +∞) Im f: [1, +∞) Im f -1 : [0,+∞) 1 1

22 Re sp 5 RESPOSTA: Dom f: [0,+∞) Dom f -1 : [-3, +∞) Im f: [-3, +∞) Im f -1 : [0,+∞) 2 2

23 Resp 3 RESPOSTA: 1) f = 2x+1


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