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FUNÇÃO INVERSA Conteúdo: Profª Maria Cristina Kessler

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Apresentação em tema: "FUNÇÃO INVERSA Conteúdo: Profª Maria Cristina Kessler"— Transcrição da apresentação:

1 FUNÇÃO INVERSA Conteúdo: Profª Maria Cristina Kessler
Implementação: Prof. Claudio Gilberto de Paula

2 DICAS PARA USAR ESTE CADERNO
Para continuar trabalhando: Para recomeçar do início da apresentação: clique na tecla F5. Para continuar do ponto onde parou: clique shift + F5 Neste caderno de exercícios você pode escrever nestas caixas. Note que isto só é possível no modo de apresentação. Se o tamanho da caixa parecer pequeno, para o que você pretende escrever, não se preocupe pois ela irá se adequar ao texto. Consulte também o material disponível no site do Ensino Propulsor. Bom trabalho! Para salvar o que escreveu você deve: 1 - Sair do modo de apresentação (clicando no botão esc ); 2 – Salvar.

3 Em matemática, o termo inversa é usado para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra. FUNÇÃO INVERSA Dada uma função f, dizemos que ela é invertível quando podemos determinar outra função g que "desfaz o serviço de f". Nesse caso, g é denominada a função inversa de f e, portanto, f é a inversa de g. Normalmente, a função inversa de f é representada por f-1. f Dom f Ao procurar a inversa de f pretendemos encontrar a função g que, a cada y na imagem de f associa o x inicial no domínio de f. Em linguagem simples, “o x vira y e o y vira x”. Pergunta: Dada uma função f, como fazemos, na prática, para determinar sua inversa? Vejamos: se temos a função f, significa que para cada valor da variável independente x obtemos, em correspondência, um valor para a variável dependente y. Im g = Dom f Dom g = Im f

4 Clique aqui para conferir .
FUNÇÃO INVERSA Vamos agora encontrar a função inversa trocando o y pelo x e vice-versa: Vejamos a função representada no diagrama abaixo: A B B A 1 3 3 1 2 5 5 2 3 7 7 3 4 9 9 4 Observe o domínio da função: Agora o domínio da função é: B = {3,5,7,9} e o conjunto imagem A = {1,2,3,4}. s4 A = {1,2,3,4} Observe o conjunto imagem da função: B = {3,5,7,9} O contradomínio da função: A Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y: Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y: Y = Clique aqui para conferir . Clique para conferir . Y =

5 O domínio de f é a imagem de f -1
OBSERVE QUE: Para encontrarmos a função inversa de f(x), a f-1 (x) devemos realizar as seguintes etapas: O domínio de f é a imagem de f -1 a imagem de f é o domínio de f -1 1 trocar x por y e y por x; Considerando a função y = 2x+1, fica : Tudo isso sugere as seguintes relações: x = 2y + 1 2 isolar novamente o y, deixando-o em função de x. domínio de f -1 = domínio de f = imagem de f Imagem de f -1 ou seja f-1 (x) =

6 f(x) = x+2, encontre f-1(x). Clique aqui para conferir a resposta.
EXEMPLO Considerando a função f(x) = x+2, encontre f-1(x). Utilizando o winplot construa o gráfico de f(x) e da sua inversa e cole-o no espaço ao lado. Observe que os gráficos dessas funções são simétricos em relação à reta y = x (função identidade). Clique aqui para conferir a resposta.

7 Clique aqui para conferir a resposta.
EXERCÍCIOS Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x). 1) y = 2x+3 s7 Clique aqui para conferir a resposta.

8 Clique aqui para conferir a resposta.
EXERCÍCIOS Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x). 2) y = x+4 Clique aqui para conferir a resposta.

9 Clique aqui para conferir a resposta.
EXERCÍCIOS Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas. Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x). 3) y = x³ Clique aqui para conferir a resposta.

10 Vamos agora analisar as condições, a serem cumpridas, para que uma função admita inversa:
Se fôssemos agora tentar encontrar a inversa, trocando o x pelo y, teríamos: Vejamos a função representada no diagrama abaixo: 2 1 1 2 4 2 2 4 condiçõs 6 3 3 6 8 8 Observe que não temos uma função, pois o elemento 8 não tem correspondente no conjunto B. O domínio da função: Dom f {1,2,3} e o conjunto imagem {2,4,6}. Neste exemplo o conjunto imagem não é igual ao contradomínio da função. RECORDE A DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B. Cont f : {2,4,6,8}.

11 Desta forma para que uma função admita inversa algumas condições precisam ser cumpridas:
1 A função precisa ser sobrejetora 1 -1 Uma função é dita sobrejetora quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio da função. 1 4 -2 Analisaremos agora outra situação a partir do diagrama abaixo: 2 condiçõs1 Observe que este conjunto de pares ordenados não representa uma função. -1 1 {(1,-1); (1,1), (4, -2); (4,2)} 1 Os elementos 1 e 4 apresentam duas imagens, o que contraria a definição de função. -2 4 2 RECORDE A DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y), tal que para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B. Na tentativa de encontrar a inversa, troca-se o x pelo y.

12 Desta forma temos outra condição a ser cumprida:
2 A função precisa ser injetora Vejamos o seguinte exemplo: Uma função é dita injetora se, para diferentes valores de x, apresentar diferentes imagens. Considere-se a função f(x) = x² Esta função, f: R→R com imagem de [0, +∞), não admite inversa pois não é injetora, mas se restringíssemos o domínio da função para f: [0, +∞) →[0, +∞)? Conclusão: Para que uma função admita inversa ela precisa ser bijetora. sobrejetora+ injetora. condiçõs2 Desta forma a função f: [0, +∞) → [0, +∞) com y = x² terá como inversa a função y = + É preciso ficar claro que se uma função não for invertível, é possível estabelecer uma restrição, ou seja, restringir o domínio de tal modo que a função definida nesse novo domínio o seja.

13 AGORA VAMOS FAZER ALGUNS EXERCÍCIOS
Observe os gráficos de f(x)= x² , da sua inversa f-1(x) e de y = x. AGORA VAMOS FAZER ALGUNS EXERCÍCIOS condic3

14 Clique aqui para conferir .
EXERCÍCIOS 1 y = x² + 1 a) Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo, estabelecendo, quando necessário, uma restrição. b) Determine o domínio e imagem de f(x) e de f-1(x). c) Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria. Exerc.1 Dom f: Im f: Dom f-1 Im f-1 Clique aqui para conferir .

15 Clique aqui para conferir .
EXERCÍCIOS 2 y = x² - 3 Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo estabelecendo, quando necessário uma restrição. Determine o domínio e imagem de f(x) e de f-1(x). Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria. Exerc.2 Dom f: Dom f-1 Im f: Im f-1 Clique aqui para conferir .

16 RESPOSTA: y = 2x+1 Resp 1

17 RESPOSTA: Resp 2

18 RESPOSTA: 1) f = 2x+3 Resp 3

19 RESPOSTA: 2) f = x+4 f-1 = x+4 Resp 3a

20 RESPOSTA: 3) y = x³ Resp 3aa

21 RESPOSTA: Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [1, +∞) Im f: [1, +∞) Im f-1: [0,+∞)

22 RESPOSTA: Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [-3, +∞)
2 RESPOSTA: Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [-3, +∞) Im f: [-3, +∞) Im f-1: [0,+∞) Resp 5

23 RESPOSTA: 1) f = 2x+1 Resp 3


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