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A Série e a Transformada de
Fourier Discretas
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A Transformada de Fourier de seqüências periódicas
Vimos que seqüências podem ser escritas como uma soma ponderada de exponenciais complexas por meio da T.F. inversa na forma:
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Se x[n] for uma seqüência periódica com período N, ou seja:
Observe que a freqüência angular correspondente a N é Portanto, só pode ter componentes com freqüências que sejam múltiplos inteiros de ou seja, Para K>N as freqüências começam a se repetir.
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Pode-se escrever então:
Para tal conjunto de seqüências viu-se anteriormente que a T.F. de Fourier é formada por impulsos:
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A expressão anterior mostra uma T. F
A expressão anterior mostra uma T.F. que contem informação redundante, uma vez que o somatório é infinito em K. Para descreve-la completamente basta conhecer o valor de N e de a0,a1,...,aN-1. Por convenção, define-se como a série de Fourier discreta da seqüência periódica:
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Exemplo gráfico:
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A Série Discreta de Fourier - DFS(do inglês, Discrete Fourier Series)
Os impulsos de se repetem periodicamente com período Os coeficientes da DFS se repetem periodicamente com período N.
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Cálculo dos coeficientes:
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Portanto:
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Exemplo:
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Neste Exemplo N=10.
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Resultado Gráfico
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Relação entre a DFS e a TF de um período de .
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Claramente, conclui-se que:
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Convolução Periódica
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A Transformada Discreta de Fourier - DFT (“Discrete Fourier Transform”)
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Sabemos que:
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Podemos escolher
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Analogamente ao caso da DFS, pode-se mostrar que DFT inversa pode ser calculada por:
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Propriedade: Deslocamento circular
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Situação de equivalência entre deslocamento circular e deslocamento circular.
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Convolução Circular
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Convolução Circular: Definição
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Cálculo da saída de SLID através da DFT
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A Transformada Rápida de Fourier - FFT (“Fast Fourier Transform”) - Dizimação no tempo.
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Dizimação no Tempo: implementação do primeiro estágio
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FFT: Segundo estágio -
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FFT: terceiro estágio -
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Implementação da convolução linear: superposição com soma.
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Implementação da convolução linear: superposição com armazenagem.
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