Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Frequência Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation.

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1 Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Frequência Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya)

2 Sumário Definições Definições Sistemas sem memória Sistemas sem memória Sistemas causais Sistemas causais Sistemas Invariantes no Tempo Sistemas Invariantes no Tempo Sistemas Lineares Sistemas Lineares Resposta em Frequência Resposta em Frequência

3 Definições x  Entradas = [tempo → Reais ou Complexos ] y  Entradas = [tempo → Reais ou Complexos ] Tempo = Inteiros ou Reais S x y

4 Exemplos (contínuos) Ganho K Ganho K Delay T Delay T Média Móvel Média Móvel

5 Exemplos (contínuos) Reverse Reverse Fast Forward Fast Forward Câmara Lenta Câmara Lenta Energia Energia

6 Definições: Resposta Impulsiva A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta impulsiva com a entrada A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta impulsiva com a entrada

7 Exemplos (discretos) Ganho K Ganho K Delay T (T inteiro) Delay T (T inteiro) Média Móvel Média Móvel

8 Exemplos (discretos) Reverse Reverse Down Sample (subamostrar) Down Sample (subamostrar) Up Sample (sobreamostrar, introduzindo zero ou outro valor, nos pontos não definidos) Up Sample (sobreamostrar, introduzindo zero ou outro valor, nos pontos não definidos)

9 Resposta Impulsiva (discretos) A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta impulsiva com a entrada A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta impulsiva com a entrada

10 Sistema sem memória Um sistema S não tem memória se existir uma função tal que: Um sistema S não tem memória se existir uma função tal que: Exemplos: Exemplos: Sem memória Com memória

11 Definições: Sistema causal Um sistema S é causal se a saída não depender de entradas futuras: Um sistema S é causal se a saída não depender de entradas futuras: Se duas entradas forem iguais até um determinado instante t, a saída, até esse instante, é igual para ambas Se duas entradas forem iguais até um determinado instante t, a saída, até esse instante, é igual para ambas

12 Causalidade O sistema é causal porque para entradas x e w iguais até ao instante t, produz a mesma saída S(x) e S(w) até ao instante t.

13 Definições: Sistema Invariante no tempo Considere-se a função Delay Considere-se a função Delay Um sistema é invariante no tempo se, para qualquer delay T, tivermos: Um sistema é invariante no tempo se, para qualquer delay T, tivermos: Ou seja: Ou seja:

14 Exemplo: Sistema Invariante no tempo Atrasar uma entrada produz um atraso equivalente na saída. As funções atraso e S podem ser aplicadas na ordem que quisermos. Atrasar uma entrada produz um atraso equivalente na saída. As funções atraso e S podem ser aplicadas na ordem que quisermos.

15 Exemplos S(x)(t)=x(t+3) S(x)(t)=x(t+3) D T o S = x(t-T+3) D T o S = x(t-T+3) S o D T = x(t+3-T) S o D T = x(t+3-T) O sistema é invariante no tempo O sistema é invariante no tempo

16 Exemplos S(x)(t)=x(-t) S(x)(t)=x(-t) D T o S = D T (S(x)(t))(t)= D T (x(-t))(t) =x(-t+T) D T o S = D T (S(x)(t))(t)= D T (x(-t))(t) =x(-t+T) S o D T = S(D T (x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=x(-t-T) S o D T = S(D T (x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=x(-t-T) Não é Invariante no Tempo Não é Invariante no Tempo

17 Exemplos S(x)(t)=(x(t-1)) 2 S(x)(t)=(x(t-1)) 2 D T o S = D T (S(x)(t))(t)= D T ((x(t-1)) 2 )(t) =(x(t-T-1)) 2 D T o S = D T (S(x)(t))(t)= D T ((x(t-1)) 2 )(t) =(x(t-T-1)) 2 S o D T = S(D T (x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=(x(t-1-T)) 2 S o D T = S(D T (x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=(x(t-1-T)) 2 É invariante no tempo É invariante no tempo

18 Exemplos Não é invariante no tempo. Só o seria se a função x fosse nula para t<a Não é invariante no tempo. Só o seria se a função x fosse nula para t<a

19 Exemplos - Convolução É invariante no tempo É invariante no tempo

20 Linearidade S(x+w)=S(x)+S(w) S(x+w)=S(x)+S(w) S(ax)=aS(x) S(ax)=aS(x) S(ax+bw)=aS(x)+bS(w) S(ax+bw)=aS(x)+bS(w) S(0) tem que ser 0 porque senão não seria possível garantir S(ax)=aS(x) para qualquer ‘a’ S(0) tem que ser 0 porque senão não seria possível garantir S(ax)=aS(x) para qualquer ‘a’

21 Linearidade

22 Exemplos Média Móvel Média Móvel Linear Linear Invariante no Tempo Invariante no Tempo Delay Delay Linear Linear Invariante no Tempo Invariante no Tempo Ganho Ganho Linear Linear Invariante no Tempo Invariante no Tempo Reverse Reverse Linear Linear Não Invariante no Tempo Não Invariante no Tempo

23 Exemplos Fast Forward Fast Forward Linear Linear Não Invariante no Tempo Não Invariante no Tempo Câmara Lenta Câmara Lenta Linear Linear Não Invariante no Tempo Não Invariante no Tempo Energia Energia Não Linear Não Linear Invariante no Tempo Invariante no Tempo Convolução Convolução Linear Linear Invariante no Tempo Invariante no Tempo

24 Resposta em Frequência Teorema: Teorema: Se a entrada for uma exponencial complexa (e j  t ) de determinada frequência, a saída também terá a mesma frequência Se a entrada for uma exponencial complexa (e j  t ) de determinada frequência, a saída também terá a mesma frequência H(  ) é a resposta em frequência do sistema H(  ) é a resposta em frequência do sistema

25 Exemplo:

26 Exemplo: |H(  )| Filtro passa baixo

27 Exemplo: fase

28 Cálculo da Resposta em Frequência O circuito RC (se normalizado de forma a R=C=1) tem a forma: Qual será a resposta em frequência ?

29 Cálculo da Resposta em Frequência do circuito R/C Filtro passa baixo

30 Exemplo: Resposta em Frequência da Média Móvel

31 Exemplo: Resposta em Frequência da função Delay A amplitude mantém-se, apenas a fase do sinal varia

32 Exemplo: Resposta em Frequência da função Ganho K Se K>0, a amplitude é multiplicada por K, a fase mantém-se. Se K<0, a amplitude é multiplicada por |K|, a fase varia de 

33 Resposta em Frequência

34 Linear e Invariante no Tempo Linear porque as derivadas são operadores lineares Invariante no tempo se a i e b i não dependerem de t

35 Causalidade e Resposta Impulsiva Considere-se um sistema definido pela resposta impulsiva: Considere-se um sistema definido pela resposta impulsiva:

36 Resposta em Frequência A resposta em frequência de um sistema definido pela convolução da entrada com a resposta impulsiva é: A resposta em frequência de um sistema definido pela convolução da entrada com a resposta impulsiva é: O que significa que a resposta em frequência de um sistema é a transformada de Fourier da resposta impulsiva O que significa que a resposta em frequência de um sistema é a transformada de Fourier da resposta impulsiva

37 Resposta em Frequência de Sistemas Discretos Analogamente :

38 Exemplo: média móvel

39 Exemplo: média móvel + autoregressão De uma forma geral, a componente média móvel fica no numerador e a componente autoregressiva no denominador. Consegue-se escrever a resposta em frequência sem ter que fazer as contas

40 Exemplo: equação às diferenças genérica

41 Peridicidade da resposta em frequência para sistemas discretos Mas como x(n)=x’(n) : Em sistemas discretos, H(  ) tem sempre período 2  e, por convenção, desenha-se apenas entre -  e 

42 Resposta em frequência de dois sistemas LTI em cascata A resposta em frequência é o produto das respostas em frequência de cada sistema A resposta em frequência é o produto das respostas em frequência de cada sistema H(  )G(  ) ejtejt H(  )e j  t G(  )H(  )e j  t

43 Resposta em Frequência de dois sistemas com feedback H(  ) G(  ) + ejtejt F(  ) F(  )e j  t G(  )F(  )e j  t [1+G(  )F(  )]e j  t H(  )[1+G(  )F(  )]e j  t

44 Amplitude e fase H(  )=|H(  )|e j  H(  ),  ) representa o angulo de H(  ) com o eixo real H(  )=|H(  )|e j  H(  ),  ) representa o angulo de H(  ) com o eixo real |H(  )| é a amplitude da resposta em Freq. |H(  )| é a amplitude da resposta em Freq.  H(  )) é a fase da resposta em frequência  H(  )) é a fase da resposta em frequência

45 Exemplo:

46 Exemplo: >> w=-2*pi:pi/1000:2*pi; >> w=-2*pi:pi/1000:2*pi; %embora bastasse de 0 a pi %embora bastasse de 0 a pi >> H=(1+exp(-i*w))/2; >> H=(1+exp(-i*w))/2; >> subplot(2,1,1) >> subplot(2,1,1) >> plot(w,abs(H)) >> plot(w,abs(H)) >> subplot(2,1,2) >> subplot(2,1,2) >> plot(w,angle(H)) >> plot(w,angle(H))

47 Exemplo

48 Decibels É vulgar medir a amplitude em dB É vulgar medir a amplitude em dB

49 Propriedades (sinais reais)

50 Propriedades Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o mesmo período Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o mesmo período Quando o sistema é real, H(  )=H*(-  ) Quando o sistema é real, H(  )=H*(-  ) |H(  )|=|H(-  )| → amplitude é par |H(  )|=|H(-  )| → amplitude é par  H(  )=-  H(-  ) → fase é ímpar  H(  )=-  H(-  ) → fase é ímpar

51 Exemplo de feedback para aumentar a largura de banda

52

53 Feedback para melhorar a resposta em frequência Se se pretende que o sistema responda mais rapidamente, a resposta às altas frequências tem que melhorar Se se pretende que o sistema responda mais rapidamente, a resposta às altas frequências tem que melhorar À parte o problema das saturações este é um mecanismo usado em robôs. À parte o problema das saturações este é um mecanismo usado em robôs.

54 Propriedades (Discretos)

55 Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o mesmo período Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o mesmo período Quando o sistema é real, H(  )=H*(-  ) Quando o sistema é real, H(  )=H*(-  ) |H(  )|=|H(-  )| → amplitude é par |H(  )|=|H(-  )| → amplitude é par  H(  )=-  H(-  ) → fase é ímpar  H(  )=-  H(-  ) → fase é ímpar E porque e j  n =e j(  +2  )n E porque e j  n =e j(  +2  )n Temos: H(  )=H(  +2  ) (em sistemas discretos a resposta em frequência é periódica) Temos: H(  )=H(  +2  ) (em sistemas discretos a resposta em frequência é periódica)

56 Coeficientes da Série de Fourier

57 Série de Fourier A 0 é a componente DC (valor médio do sinal num período) A 0 é a componente DC (valor médio do sinal num período) Permite representar qualquer sinal periódico Permite representar qualquer sinal periódico Se o sinal não for periódico mas for finito (no tempo), pode também ser representado por uma série se o replicarmos ao longo do tempo. Se o sinal não for periódico mas for finito (no tempo), pode também ser representado por uma série se o replicarmos ao longo do tempo.

58 A forma exponencial é mais prática

59 Equivalência entre as formas exponencial e coseno X k e X -k são Complexos Conjugados

60 Obtenção dos coeficientes Ak a partir de Xk

61 Cálculo dos coeficientes X n

62 Cálculo dos Coeficientes

63 Base As funções que compõem a série de Fourier constituem uma base. As funções que compõem a série de Fourier constituem uma base. Qualquer função pode ser representada por uma combinação linear delas. Qualquer função pode ser representada por uma combinação linear delas.

64 Cálculo dos Coeficientes (tempo discreto)

65 Cálculo de X (discreto) Multiplicando ambos os lados por exp(-jk  o n)

66 Cálculo dos Coeficientes (tempo discreto)