EAL ESTATÍSTICA, PLANEJAMENTO E OTIMIZAÇÃO DE EXPERIMENTOS

Quando as variáveis são muitas  O número de ensaios aumenta rapidamente com o número de fatores investigados  Com 7 fatores teremos 128 ensaios.  Nesta situação podemos obter a informação desejada com um número menor de ensaios  Com o aumento do número de fatores crescem as chances de que um ou mais não afetem a resposta.

Fatoriais fracionários  A priori, não conhecemos todos os fatores que afetam significativamente a resposta.  Para não descartar fatores que podem ser importantes, nesta etapa devemos estudar o maior número de fatores possível

Exemplo  O exemplo analisado a seguir trata da otimização de um processo analítico para determinação de molibdênio quatro fatores e dois níveis... Completo n k = 2 4 = 16 experimentos Fracionário n k-r = = 8 experimentos Fracionário n k-r = = 8 experimentos Comparamos os resultados obtidos ao analisarmos o fatorial completo e o fatorial fracionário...

Exemplo  Otimização de um processo analítico para determinação de molibdênio  Nível  Variáveis escolhidas - +  [Ác. Sulfúrico] 0,16 0,32  [KI] 0,015 0,030  [H2O2] 0,0020 0,0040  Tempo, s

Resultados de um fatorial completo... Fatores 1 [H2SO4]; 2[KI]; 3 [H2O2]; 4 Tempo  Ensaio resp Ensaio resp        

Efeitos calculados  Média : 143,31  Efeitos principais  (1) -2,38 ; (2) 109,38; (3) 54,38 ; (4) 67,13  Interações:  (12) =-1,13 ; (13)= 2,88 ; (14)=1,13; (23)=25,63 ; (24)=21,88; (34)=9,88  (123)=2,63; (124)=-2,63; (134)=5,38; (234)=0,13; (1234)=-8,88 erro = 4,93

 Os dados analisados pelo gráfico normal permitem identificar os fatores principais 2 ; 3; 4 e as interações 24 e 23 como significativas para a resposta.  Pode-se realizar um fatorial fracionário usando metade dos experimentos.  Fração meia do planejamento fatorial completo  = 8 experimentos

Fatorial fracionário  Ensaio resp        

Efeitos calculados  Média : 138,88  Efeitos principais  (1) -2,25 ; (2) 114,75; (3) 51,75 ; (4) 69,75  Interações:  (12) =8,75 ; (13)= 24,75 ; (14)=26,75; (23)=26,75 ; (24)=24,75; (34)=8,75

Gráfico da probabilidade cumulativa

Fatoriais : completo x fracionário...  COMPLETO...  Média : 143,31  Efeitos principais  (1) -2,38 ; (2) 109,38; (3) 54,38 ; (4) 67,13  Interações:  (12) =-1,13 ; (13)= 2,88 ; (14)=1,13; (23)=25,63 ; (24)=21,88; (34)=9,88  (123)=2,63; (124)=-2,63; (134)=5,38; (234)=0,13; (1234)=- 8,88 erro = 4,93  FRACIONÁRIO...  Média : 138,88  Efeitos principais  (1) -2,25 ; (2) 114,75; (3) 51,75 ; (4) 69,75  Interações:  (12) =8,75 ; (13)= 24,75 ; (14)=26,75; (23)=26,75 ; (24)=24,75; (34)=8,75

Análise dos resultados  Os valores das interações significativas estão em boa concordância  As interações envolvendo o fator 1 estão superestimadas (preço pago pela redução do número de experimentos)‏  Podemos admitir que as interações envolvendo o fator 1 não são importantes, pois o efeito principal é desprezível  Assim podemos identificar os mesmos fatores que afetam a resposta realizando metade dos experimentos.

Como construir uma meia fração  No experimento construímos um planejamento completo 2 3 para os fatores 1, 2 e 3  O fator 4 será o produto das colunas 1, 2 e 3  A primeira consequência é que os contrastes l123 e l4 são iguais!

Relações entre os contrastes  Relações entre colunas e sinais Contrastes da meia fração  1 = 234 l1 = l234 →  2 = 134 l2 = l134 →  3 = 124 l3 = l124 →  12 = 34l12 = l34 →  13 = 24l13 = l24 →  14 = 2314 = l23 →  I = 1234l I → M + ½ 1234  Neste fatorial não misturamos os efeitos principais com interações de dois fatores.

Relações geradoras  A fração considerada foi obtida pela igualdade 4 = 123 que pode ser apresentada como  I = 1234  No exemplo os ensaios não escolhidos formam a fração 4 = - 123

Conceito de resolução  “...o que determina a resolução de um fatorial são as suas relações geradoras. O numero de fatores que compõe o termo mais curto presente nestas relações é, por definição, a resolução do planejamento”  No exemplo essa relação contem 4 fatores (I = 1234 ) e por isso a resolução do fatorial é quatro.

Variáveis inertes e fatoriais embutidos em frações  Ao avaliarmos o fator 1 [ H 2 SO 4 ] concluímos que ele é desprezível, isto significa que ele não afeta o sinal analítico... trata-se de uma variável inerte.  Isto nos permite retirar a coluna correspondente ao fator 1 [ H 2 SO 4 ] e assim teremos um fatorial 2 3 completo.

Planejamentos saturados  Problemas com muitos fatores não são muito comuns na vida acadêmica...  Experimentos que permitem uma triagem eficaz de um conjunto de muitas variáveis são importantes para laboratórios industriais  Assim podemos em 2 m ensaios avaliar 2 m-1 fatores.  Em planejamentos saturados podemos avaliar a influência de 7 fatores para m=3; 15 fatores se m=4....

Planejamentos saturados  Plackett e Burman  Os planejamentos empregam um total de 12, 20, 24, 28..., experimentos.  Possuem características comuns aos outros planejamentos estudados.  Permitem estimar os K=n-1 efeitos principais com variância mínima, admitindo-se que os efeitos de interação sejam desprezíveis.

Planejamentos saturados  Nos planejamentos Plackett-Burman recomenda-se que o número de fatores reais não ultrapasse a n-4.  Nestes planejamentos as relações entre os contrastes e os efeitos de um fatorial completo são bastante complexas o que torna difícil escolher os ensaios adicionais para desconfundir efeitos.

Planejamento Plackett- Burman

Planejamentos saturados  Avaliação de fatores sobre a qualidade do saque....  Fatorial fracionário de oito ensaios com sete variáveis

Planejamentos saturados

 Admitimos que fatores de ordem mais alta são desprezíveis...  Se admitirmos também que todas as interações entre dois fatores podem ser desprezadas...  Assim cada contraste passa a ser um efeito principal.

Planejamentos saturados

 Em vermelho efeitos que tem os maiores valores  Os fatores 3, 4 e 6 parecem não ter grande importância.

Planejamentos saturados  Realizando mais oito ensaios... junto aos ensaios já realizados é possível separar o efeito principal do fator 5 da interação de dois fatores....  No novo conjunto de ensaios a relação geradora é 5 = -13

Planejamentos saturados

 Erro padrão = 1,40  Efeitos significativos Var 1, 2, 5 e  Novos ensaios...??

Aplicações  Livro Bruns  4 A.1 Adsorção em sílicas...  4 A.2 Termogravimétria de cálcio  4 A.3 Análise cromatográfica de gases  4 A.4 Resposta catalítica  4 A.5 Escoamento de Óxidos  4 A.6 Produção de violaceína  4 A.7 Cura de uma resina de poliéster