INTRODUÇÃO Diversas decisões tomadas no dia-a-dia das empresas dizem respeito a qual combinação de recursos produz o resultado ótimo, como: Qual deve ser o mix de produtos a serem fabricados de forma a atingir a maior margem de contribuição total? Qual a combinação de investimentos que maximiza o retorno de uma carteira? Qual composição de insumos em uma mistura corresponde ao custo mínimo?

As empresas utilizam recursos para produzir bens e serviços. Os recursos são escassos. Daí por que, ao buscarem otimizar a alocação dos recursos, visando produzir o melhor resultado, as empresas devem levar em conta as limitações ou restrições existentes.

A programação Linear é um dos mais importantes instrumentos do campo da Pesquisa Operacional. Área de conhecimento que fornece um conjunto de procedimentos voltados para tratar problemas que envolvem a escassez de recursos. São possíveis de soluções com o emprego de PL os problemas nos quais se busca a melhor alocação de recursos, de forma a atingir determinado objetivo de otimização, atendendo a determinadas restrições.

Diversos tipos de problemas em Contabilidade e Finanças podem ser modelados para resolução com aplicação de Programação linear, tais como: Decisões de investimentos, fluxo de caixa, orçamento de capitais, mix de produção, organização de transportes, políticas de estoques etc.

Breve Histórico A Programação Linear foi desenvolvida conceitualmente após a Segunda Guerra Mundial, pelo soviético Kolmogorov, com o objetivo de resolver problemas de logística militares. A primeira aplicação de PL foi feita em 1945, por Stigler em um problema referente à composição de mistura.

O grande marco na evolução dos estudos de PL, contudo, ocorreu em 1947, com o desenvolvimento pelo jovem matemático Dantzig do método que denominou “método simplex”. Dantzig, matemático da força aérea e em contato com questões relacionadas à logística, percebeu que problemas que envolviam limitações de recursos podiam ser resolvidos por meio de uma sistemática de busca de solução ótima entre um conjunto de possíveis soluções.

O rápido avanço dos computadores fez com que a PL passasse a ser utilizada como ferramenta de gestão empresarial. Tanto que o russo Kantorovich ganhou o Prêmio Nobel em Economia pelo desenvolvimento de conceitos de planejamento ótimo. Mais recentemente, em 1984, Karmakar desenvolveu um algoritmo que se tem mostrado superior ao simplex para a resolução de problemas extremamente grandes. Contudo, o método simplex continua sendo o mais utilizado nos dias de hoje, inclusive como base lógica das planilhas eletrônicas.

Pesquisa Operacional Pesquisa operacional é um método cientifico de tomada de decisões. Em linhas gerais, consiste na descrição de um sistema organizado como o auxílio de um modelo, e através da experimentação com o modelo, na descoberta da melhor maneira de operar o sistema.

Fases de um Estudo em P.O Um estudo em P.O costuma envolver seis fases: Formulação do problema; Construção do modelo do sistema; Cálculo da solução através do modelo; Teste do modelo e da solução; Estabelecimento de controles da solução; Implantação e acompanhamento.

Formulação do Problema Nesta fase, o administrador do sistema e o responsável pelo estudo em P.O. deverão discutir, no sentido de colocar o problema de maneira clara e coerente, definindo os objetivos a alcançar e quais os possíveis caminhos alternativos para que isso ocorra.

Formulação do Problema Além disso, serão levantadas as limitações técnicas do sistema e as relações desse sistema com outros da empresa ou ambiente externo, com a finalidade de criticar a validade de possíveis soluções em face destes obstáculos. Deverá ainda ser acordado uma medida de eficiência para o sistema, que permita ao administrador ordenar as soluções encontradas, concluindo o processo decisório.

Construção do modelo Os modelos que interessam em P.O. são os modelos matemáticos, isto é, modelos formados por um conjunto de equações e inequações. Uma das equações do conjunto serve para medir a eficiência do sistema para cada solução proposta. É a função objetivo ou função de eficiência. As outras equações geralmente descrevem as limitações ou restrições técnicas do sistema.

Variáveis Controladas ou de decisão São variáveis cujo valor está sob controle do administrador. Decidir, neste caso, e atribuir um particular valor a cada uma dessas variáveis. Numa programação de produção, por exemplo, a variável de decisão é a quantidade a ser produzida num período, o que compete ao administrador controlar.

Variáveis não Controladas São as variáveis cujos valores são arbitrados por sistemas fora do controle do administrador. Custo de produção, demanda de produtos, preços de mercado são variáveis não controladas.

Um bom modelo é aquele que tem desempenho suficientemente próximo do desempenho da realidade e é de fácil experimentação. Essa proximidade desejada é variável, dependendo do objetivo proposto. Um bom modelo para um objetivo pode ser péssimo para o outro. A finalidade de um modelo é aumentar à medida que ele incorpora características da realidade, com a adição de novas variáveis. Isso aumenta sua complexidade, dificultando a experimentação, o que nos leva a considerar o fator custo-benefício quando pensamos em melhorar o desempenho de um modelo.

Cálculo da solução através do modelo É feita através de técnicas matemáticas especificadas. A construção do modelo deve levar em consideração a disponibilidade de uma técnica para o cálculo da solução.

Programação Linear Modelo em Programação Linear Uma das técnicas mais utilizadas na abordagem de problemas em P.O. é a P.L. A simplicidade do modelo envolvido e a disponibilidade de uma técnica de solução programável em computador facilitam sua aplicação. As aplicações mais conhecidas são feitas em sistemas estruturados, como os de produção, finanças, controle de estoques, etc.

Modelagem O modelo matemático de programação linear é composto de uma função objetivo linear; e de restrições técnicas representadas por um grupo de inequações também lineares. Lucro = 2x+3y Restrições : As variáveis controladas ou de decisão são x e y. A função objetivo mede o desempenho do sistema.

Roteiro Quais as variáveis de decisão Qual o objetivo Quais as restrições

Alocação de Pessoas em uma Fábrica Considere uma fabrica de rádios que possui duas linhas de produção: Rádios Standard Rádios Luxo Com relação aos rádios Standard temos as seguintes informações: A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas; Cada rádio consome 1 homem/dia para ser produzido Cada rádio fornece um lucro de R$ 30,00.

Para os rádios luxo: A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas; Cada rádio consome 2 homem/dia para ser produzido; Cada radio fornece um lucro de R$ 40,00. Alem disso devemos informar que a fábrica possui um total de 40 empregados a serem alocados nas duas linhas de produção. O objetivo do dono da fábrica é Maximizar o lucro diário.

2- Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de R$ 1500,00 e o lucro de P2 é de R$ 1800,00. A empresa precisa de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo semanal de produção disponível é de 120horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de P.L para esse caso.

2-Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carnes e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Qual a quantidade diária de carnes e ovos que devem ser consumidas para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível ? Cada unidade de carne custa R$ 3,00 e cada unidade de ovo custa R$ 2,50.

Exercícios 1- Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de R$ 100,00 e o lucro de P2 é de R$ 150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

2- Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a R$ 20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a R$ 10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a R$ 30,00 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo de problema.

3- Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de R$ 5,00 e o de cinto é de R$ 2,00, pede-se: O modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar se lucro por hora.

4- Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A “ com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de telespectadores, enquanto o programa “B “, com 10 minutos de musica e 1 minuto de propaganda chama a atenção de telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verbas para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.

4-Uma empresa fabrica 2 modelos de cinto de couro. O modelo M1 de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e de 700 para M2. Os lucros unitários são de R$ 4,00 para M1 e R$ 3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro diário de empresa? Construa o modelo do sistema.

Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos,R1,R2 R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de fabricar dois produtos e P1 e P2. Levando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$ 120,00 por unidade e, P2 R$ 150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.

Produto Recursos R1 por unidade Recursos R2 por unidade Recursos R3 por unidade P1 P Disponibilidade de recursos por mês Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema.

Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (Arrendamento) – Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra R$ 3000,00 por alqueire por ano. P (Pecuária) – Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100 Kg/Alq) e irrigação ( litros de água/Alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$ 4000,00 por alqueire por ano.

S (Plantio de Soja) – Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200Kg por alqueire de adubos e litros de água/Alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$ 5000,00 / Alqueire no ano. Disponibilidade de recursos por ano: litros de água Kg de adubo 100 alqueires de terra. Quantos alqueires deverão destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão.