Exercício 9 Calcular algumas funções derivadas … Manual, volume 2, página 75 (85.4; 86; 87), página 76 (88.3; 89; 90), página 77 (92.3; 92.4; 93.1), página 78 (94; 95.3; 95.4; 95.5; 96), página 80 (103; 104) página 82 (107; 108), página 83 (111) E ainda … página 84 (Tarefa 15), página 88 (Tarefa 16) E ainda … ainda … página 116 (proposta 19) página 117 (proposta 22) Exercício 9 Calcular algumas funções derivadas … Manual, volume 2, página 75 (85.4; 86; 87), página 76 (88.3; 89; 90), página 77 (92.3; 92.4; 93.1), página 78 (94; 95.3; 95.4; 95.5; 96), página 80 (103; 104) página 82 (107; 108), página 83 (111) E ainda … página 84 (Tarefa 15), página 88 (Tarefa 16) E ainda … ainda … página 116 (proposta 19) página 117 (proposta 22)

Monotonia e extremos; Sentido das concavidades e pontos de inflexão Recorde que: 1. f é estritamente crescente num dado intervalo do D f se para qualquer x 1 e x 2 desse intervalo, se tem : x 1 < x 2 então f(x 1 ) < f(x 2 ) ; 2. f é estritamente decrescente num dado intervalo do D f se para qualquer x 1 e x 2 desse intervalo, se tem : x 1 f(x 2 ) ; 3. f(a) é o máximo absoluto de f se para todo o x  D f, se tem f(a)  f(x); 4. f(b) é o mínimo absoluto de f se para todo o x  D f, se tem f(b)  f(x); 5. f(a) é um máximo relativo de f, se num dado intervalo do D f e para qualquer x desse intervalo, se tem: f(a)  f(x); 6. f(b) é um mínimo relativo de f, se num dado intervalo do D f e para qualquer x desse intervalo, se tem: f(b)  f(x); 7. f tem a concavidade voltada para cima (  ) num dado intervalo do D f, se o gráfico de f está acima de qualquer das retas tangentes; 8. f tem a concavidade voltada para baixo (  ) num dado intervalo do D f, se o gráfico de f está abaixo de qualquer das retas tangentes; 9. Qualquer ponto do D f onde o gráfico mude o sentido da concavidade diz-se um ponto de inflexão, nesse ponto a reta tangente atravessa o gráfico. Recorde que: 1. f é estritamente crescente num dado intervalo do D f se para qualquer x 1 e x 2 desse intervalo, se tem : x 1 < x 2 então f(x 1 ) < f(x 2 ) ; 2. f é estritamente decrescente num dado intervalo do D f se para qualquer x 1 e x 2 desse intervalo, se tem : x 1 f(x 2 ) ; 3. f(a) é o máximo absoluto de f se para todo o x  D f, se tem f(a)  f(x); 4. f(b) é o mínimo absoluto de f se para todo o x  D f, se tem f(b)  f(x); 5. f(a) é um máximo relativo de f, se num dado intervalo do D f e para qualquer x desse intervalo, se tem: f(a)  f(x); 6. f(b) é um mínimo relativo de f, se num dado intervalo do D f e para qualquer x desse intervalo, se tem: f(b)  f(x); 7. f tem a concavidade voltada para cima (  ) num dado intervalo do D f, se o gráfico de f está acima de qualquer das retas tangentes; 8. f tem a concavidade voltada para baixo (  ) num dado intervalo do D f, se o gráfico de f está abaixo de qualquer das retas tangentes; 9. Qualquer ponto do D f onde o gráfico mude o sentido da concavidade diz-se um ponto de inflexão, nesse ponto a reta tangente atravessa o gráfico.

1.ª Derivada, Monotonia e Extremos Monotonia Num dado intervalo do domínio de f, se para todos os pontos desse intervalo: f ’(x) é positiva então f é estritamente crescente; f ’(x) é negativa então f é estritamente decrescente; f ’(x) é nula então f é constante; Nota1: Estas propriedades continuam válidas mesmo no caso de a derivada se anular em pontos isolados do intervalo ou se a derivada for infinita (+  e - , respetivamente) em pontos isolados do intervalo. 1.ª Derivada, Monotonia e Extremos Monotonia Num dado intervalo do domínio de f, se para todos os pontos desse intervalo: f ’(x) é positiva então f é estritamente crescente; f ’(x) é negativa então f é estritamente decrescente; f ’(x) é nula então f é constante; Nota1: Estas propriedades continuam válidas mesmo no caso de a derivada se anular em pontos isolados do intervalo ou se a derivada for infinita (+  e - , respetivamente) em pontos isolados do intervalo.

Extremos 1. Num ponto do D f onde a 1.ª derivada se anula passando de positiva a negativa, a função tem um máximo relativo; e onde a 1.ª derivada se anula passando de negativa a positiva, a função tem um mínimo relativo; 2. Num ponto do D f em que não exista derivada, mas existam as derivadas laterais com sinais diferentes, a função tem um máximo relativo em x = a se f ’(a - ) é positiva e f ’(a + ) é negativa; e tem um mínimo relativo em x = a se f ’(a - ) é negativa e f ’(a + ) é positiva; Extremos 1. Num ponto do D f onde a 1.ª derivada se anula passando de positiva a negativa, a função tem um máximo relativo; e onde a 1.ª derivada se anula passando de negativa a positiva, a função tem um mínimo relativo; 2. Num ponto do D f em que não exista derivada, mas existam as derivadas laterais com sinais diferentes, a função tem um máximo relativo em x = a se f ’(a - ) é positiva e f ’(a + ) é negativa; e tem um mínimo relativo em x = a se f ’(a - ) é negativa e f ’(a + ) é positiva; 3. Se o estudo é feito num dado intervalo onde pelo menos um dos extremos desse intervalo é fechado, também aí acontece a existência de um extremo relativo da função. No caso geral, num intervalo do tipo [a, b] se: 3.1. f ’(a + ) é positiva então f(a) é um mínimo relativo; 3.2. f ’(a + ) é negativa então f(a) é um máximo relativo; 3.3. f ’(b - ) é positiva então f(b) é um máximo relativo; 3.4. f ’(b - ) é negativa então f(b) é um mínimo relativo; Nota2: Os pontos do domínio de f onde f ’(c) = 0 ou f ’(c) não existe chamam-se pontos críticos de f. Nota3: Existem zeros da 1.ª derivada onde não acontece um extremo relativo, basta que a 1.ª derivada não mude de sinal. 3. Se o estudo é feito num dado intervalo onde pelo menos um dos extremos desse intervalo é fechado, também aí acontece a existência de um extremo relativo da função. No caso geral, num intervalo do tipo [a, b] se: 3.1. f ’(a + ) é positiva então f(a) é um mínimo relativo; 3.2. f ’(a + ) é negativa então f(a) é um máximo relativo; 3.3. f ’(b - ) é positiva então f(b) é um máximo relativo; 3.4. f ’(b - ) é negativa então f(b) é um mínimo relativo; Nota2: Os pontos do domínio de f onde f ’(c) = 0 ou f ’(c) não existe chamam-se pontos críticos de f. Nota3: Existem zeros da 1.ª derivada onde não acontece um extremo relativo, basta que a 1.ª derivada não mude de sinal.

2.ª Derivada, Sentido das concavidades e Pontos de inflexão Sentido das concavidades Num dado intervalo do domínio de f, se para todos os pontos desse intervalo: 1.f ’’(x) é positiva então f tem a concavidade voltada para cima; 2. f ’’(x) é negativa então f tem a concavidade voltada para baixo; Pontos de inflexão 1.Num ponto do D f onde a 2.ª derivada se anula e mude de sinal a função tem um ponto de inflexão. 2. Num ponto do D f em que não exista 2.ª derivada, mas que exista mudança de sinal à esquerda e à direita de f ’’ nesse ponto, a função tem um ponto de inflexão. 2.ª Derivada, Sentido das concavidades e Pontos de inflexão Sentido das concavidades Num dado intervalo do domínio de f, se para todos os pontos desse intervalo: 1.f ’’(x) é positiva então f tem a concavidade voltada para cima; 2. f ’’(x) é negativa então f tem a concavidade voltada para baixo; Pontos de inflexão 1.Num ponto do D f onde a 2.ª derivada se anula e mude de sinal a função tem um ponto de inflexão. 2. Num ponto do D f em que não exista 2.ª derivada, mas que exista mudança de sinal à esquerda e à direita de f ’’ nesse ponto, a função tem um ponto de inflexão.

Observação1: A monotonia de f está relacionada com o sinal de f ’, consequentemente a monotonia de f ’ está relacionada com o sinal de f ’’. Isto é, se: - f ’’ é positiva então f ’ é estritamente crescente; - f ’’ é negativa então f ’ é estritamente decrescente; Assim pode-se afirmar que se f ’ é estritamente crescente a função f tem a concavidade voltada para cima e se f ’ é estritamente decrescente a função f tem a concavidade voltada para baixo. Observação2: A 2.ª derivada também pode servir para testar a existência de extremos. Se c é um ponto do D f e f ’(c) = 0, e se: - f ’’ (c) é negativa então f(c) é um máximo relativo; - f ’’ (c) é positiva então f(c) é um mínimo relativo;

Resolução de problemas envolvendo derivadas