PESQUISA OPERACIONAL PARA A ENGENHARIA DE PRODUÇÃO II **Modelagem de Problemas de Programação Linear Inteira ** Profa. Vitória Pureza 1º Semestre Aulas 9 e 10

Roteiro Problema da Mochila 0-1 Problema de Custo Fixo Problema de Cobertura de Conjuntos Modelagem de Restrições E/OU Modelagem de Restrições SE...ENTÃO Winston, capítulo 9

Exemplo 1: Uma empresa está considerando investir em 4 projetos. A tabela abaixo apresenta para cada projeto, o volume de aplicação requerido e o retorno gerado. No momento, $ estão disponíveis. Formule um PI para maximizar o retorno obtido com a seleção de um ou mais projetos dentre os considerados. Considere que só é possível fazer uma aplicação em cada projeto e que ela não possa ser fracionada. PROJETOAPLICAÇÃO (R$) RETORNO (R$) , , , , , , , ,00

Problemas de Programação Linear Inteira (PI) PLs nos quais se requer que pelo menos uma das variáveis assuma valores inteiros não negativos (  Z + ) Seja um modelo linear com 2 variáveis x 1 e x 2 Se x 1 e x 2  Z + Se x 1 ≥ 0 e x 2  Z + Se x 1 e x 2  {0,1} Métodos do tipo Branch&Bound (B&B) podem ser utilizados para encontrar a solução ótima de PIs PI PURO PI MISTO PI 0-1

Exemplo 2: Joseane planeja fazer um acampamento. Existem 4 itens que Joseane pensa em levar na viagem. O peso de cada item e seu nível de utilidade para Joseane são dados na tabela abaixo. Formule um PI que maximize o nível total de utilidade dos itens levados por Joseane, considerando que ela consegue carregar no máximo 14 lbs. ITEMPESO (lbs)Utilidade Problema da Mochila 0-1

 Modifique a modelagem do exemplo 1 de forma a considerar as seguintes restrições: 1.A empresa pode investir no máximo em 2 projetos 2.Se a empresa investir no projeto 2, ela precisa também investir no projeto 1 3.Se a empresa investir no projeto 2, ela não pode investir no projeto 4

Problema de Custo Fixo Nestes problemas, existe um custo associado à realização de uma atividade que independe do nível da atividade desde que este nível seja maior que zero  Se a atividade está sendo realizada (nível  0), então custo fixo = C  Se a atividade não está sendo realizada (nível = 0), então custo fixo = 0 Note que há uma relação entre o nível da atividade e a ocorrência ou não do custo fixo que precisa ser descrita no modelo

Exemplo 3: Uma fábrica de roupas produz três artigos: saias, shorts e calças. A produção de cada tipo de roupa requer que a fábrica tenha o tipo de máquina apropriado. As máquinas são alugadas semanalmente. A produção de cada tipo de roupa requer também quantidades de tecido e mão-de-obra (veja na tabela abaixo). A cada semana, 150 horas de mão-de- obra e 160 ft 2 quadrados de tecido estão disponíveis. O custo unitário e o preço de venda são dados na tabela abaixo. Formule um PI que maximize os lucros semanais da fábrica. ARTIGO ALUGEL ($/SEMANA) MÃO DE OBRA (h/unidade) TECIDO (ft 2 /unidade) PREÇO DE VENDA ($/unidade) CUSTO ($/unidade) SAIA SHORTS CALÇA

Exemplo 4: Uma empresa recebe pagamento de compras a crediário de 4 regiões do país (R1, R2, R3 e R4), e pensa em concentrar as operações de processamento de pagamentos em escritórios de 4 cidades distintas (C1, C2, C3 e C4). O número médio de dias entre o envio do cheque e sua liquidação depende da cidade para onde o pagamento é enviado. O valor médio de pagamento diário enviados pelos clientes de cada região, e o número de dias do dinheiro em trânsito é dado abaixo: DE PARAC1C2C3C4 VALOR MÉDIO DE PAGAMENTO DIÁRIO ($) R R R R

A empresa precisa decidir para onde os clientes devem enviar seus pagamentos. Como a empresa pode ganhar 20% de juros anuais investindo esses valores, ela gostaria de receber os pagamentos o mais cedo possível. O custo anual de manter um escritório em qualquer cidade é de $ Formule um PI que a empresa possa usar para minimizar a soma dos custos devido a juros perdidos e a manutenção dos escritórios. Assuma que cada região precisa enviar todo o seu dinheiro a uma única cidade e que não haja limite na quantidade de dinheiro que cada escritório possa lidar.

Modelagem Matemática Decisões Onde operar os escritórios ? Para onde cada região deve enviar seu pagamento ? Variáveis de Decisão Note que Se y 1 = 1 então existe um escritório em C 1 Se x 31 = 1 então a região R 3 envia o pagamento para a cidade C 1 É preciso então descrever a relação entre as variáveis x e as variáveis y no modelo

 Objetivo do problema Minimizar custo anual = custo de manutenção dos escritórios 50(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) + custo de juros perdidos durante o período em que o dinheiro está em trânsito De R 1 p/ C 1 2 dias Em qualquer dia há sempre 2 pagamentos em trânsito ($ ) !! DIA MONTANTE ENVIADOp1p1 p2p2 p3p3 MONTANTE EM TRÂNSITO p1p1 p1p2p1p2 p2p3p2p3

Isso é equivalente a terem sido deixados parados $ Se esse dinheiro tivesse sido investido, renderia juros anuais de $ x 0,2 = $ Assim, o custo de juros anuais perdidos decorrentes de enviar o pagamento de R 1 para C 1 é 28x 11. Calculando para as demais variáveis x ij e acrescentando o custo de manutenção dos escritórios, obtém-se : Min z=28x x x x x x x x x x x x x x x x (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 )

 Fatores que afetam o alcance do objetivo 1.Cada região precisa enviar seus pagamentos para uma única cidade Para R 1 : x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 1 Generalizando: 2.Se uma região envia seu pagamento para cidade, esta cidade precisa ter um escritório em operação Se x 11 =1 então y 1 =1 Se x 11 =0 então y 1 =0 ou 1 Restrições lógicas

Restrições Analíticas Para C 1 : Generalizando: Formulação alternativa: x 11 + x 21 + x 31 + x 41 ≤ 4y 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 ≤ 4y 2 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 ≤ 4y 3 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 ≤ 4y 4 Porque 4 ? z*=$ y 1 =1, y 3 =1, x 11 =1, x 23 =1, x 33 =1, x 43 =1

Exemplo 5: Para obter um diploma em Pesquisa Operacional em uma universidade, um estudante precisa ser aprovado em pelo menos 2 cursos de matemática, 2 cursos de PO e 2 cursos de computação. Algumas disciplinas podem ser cursadas para atender mais de um requerimento, como visto na tabela abaixo: Algumas disciplinas são pré-requisitos de outras, como visto na tabela abaixo: Formule um PI para minimizar o número de disciplinas necessárias para satisfazer os requerimentos para obtenção do título CURSOS DISCIPLINAS CALPOEDEESIMIPCPREV MATEMÁTICAXXXXX POXXXX COMPUTAÇÃOXXX PRÉ-REQUISITOS DISCIPLINAS EDEESIMPREV CALX EEX IPCXX

Problemas de Cobertura de Conjuntos Nestes problemas, cada elemento de um conjunto S 1 deve ser coberto por um elemento aceitável de um conjunto S 2 O objetivo é minimizar o número de elementos do conjunto S 2 necessário para cobrir todos os elementos do conjunto S 1

Exemplo 6: Existem 6 cidades em uma região. O governo estadual precisa determinar onde construir postos de bombeiro. O governo quer construir o menor número de postos necessários mas que assegurem que um posto esteja a um tempo de percurso de 15 minutos de cada cidade. Os tempos (em minutos) entre cada par de cidades estão dados na tabela abaixo. Formule um PI que calcule quantos postos devem ser construídos e suas localizações DE PARAC1C2C3C4C5C6 C C C C C C

Modelagem Matemática Decisão Onde construir os postos? Variáveis de Decisão

 Objetivo do problema Minimizar o número de postos construídos Min z=x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6  Fatores que afetam o alcance do objetivo 1.Deve existir pelo menos um posto a pelo menos 15 minutos de cada cidade POSSÍVEL LOCALIZAÇÃO DE UM POSTO CIDADES ALCANÇÁVEIS EM ATÉ 15 MINUTOS C1C1, C2 C2C1, C2, C6 C3C3, C4 C4C3, C4, C5 C5C4, C5, C6 C6C2, C5, C6 X 1 + X 2 ≥ 1 X 1 + X 2 + X 6 ≥ 1 X 3 + X 4 ≥ 1 X 3 + X 4 + X 5 ≥ 1 X 4 + X 5 + X 6 ≥ 1 X 2 + X 5 + X 6 ≥ 1 z*= 2x 1 =1, x 4 =1 C C

Modelagem de Restrições E/OU Suponha que em um modelo de programação linear inteira existam 2 restrições cuja forma genérica é: Restrição 1  f(x) ≤ 0 Restrição 2  g(x) ≤ 0 e tais que deseja-se assegurar que pelo menos uma das duas (1 e/ou 2) seja satisfeita Para isso, as restrições a serem utilizadas no modelo são: Restrição 1  Restrição 2  onde M: n o arbitrariamente grande y: variável binária de suporte f(x) ≤ My g(x) ≤ M(1-y) Note que: Caso 1) Se y = 0, f(x) ≤ 0 g(x) ≤ M Ou seja, f(x) será satisfeita g(x) talvez seja satisfeita Caso 2) Se y = 1, f(x) ≤ M g(x) ≤ 0 Ou seja, g(x) será satisfeita f(x) talvez seja satisfeita

Exemplo 7: Uma fábrica de automóveis considera produzir 3 tipos de carros: compacto, médio e grande. Os recursos requeridos e os lucros obtidos para cada tipo de carro são dados na tabela abaixo: Há toneladas de aço e horas de mão de obra disponíveis. Por razões de viabilidade econômica, se for decidido fabricar um dado tipo de carro, pelo menos destes precisam ser produzidos. Formule um PI que maximize o lucro da fábrica. COMPACTOMÉDIOGRANDE AÇO (TON)1,535 MÃO DE OBRA (HR) LUCRO UNITÁRIO ($/UNIDADE)

Modelagem Matemática Decisão Quanto produzir de cada tipo de carro? Variáveis de Decisão

 Objetivo do problema Maximizar o lucro com a venda dos três tipos de carro Max z=2x 1 + 3x 2 + 4x 4  Fatores que afetam o alcance do objetivo 1.Se um tipo de carro for produzido, pelo menos unidades deste tipo precisam ser produzidas x j =0 OU x j ≥1.000  x j ≤ 0 OU x j ≤ 0  i Restrições analíticas x i ≤ M i y i  i= x i ≤ M i (1-y i ) y i =0 ou 1 C g(x) f(x)

Para carros do tipo COMPACTO: x 1 ≤ M 1 y – x 1 ≤ M 1 (1-y 1 ) Caso 1) Se y = 0, x 1 ≤ 0 (nenhum carro é produzido) x 1 ≥ – M 1 (não agrega informação) Caso 2) Se y = 1, x 1 ≤ M 1 (não agrega informação) x 1 ≥ (pelo menos carros são produzidos)

2.Existem disponíveis toneladas de aço para produção dos três tipos de carro 1,5x 1 + 3x 2 + 5x 3 ≤ Existem disponíveis horas de mão de obra para produção dos três tipos de carro 30x x x 3 ≤ z*= 6.000x 2 =2.000 y 2 =1 Eliminando a restrição 1: z*= x 1 =570 x 2 =1.715 y 1 =y 2 =1

Modelagem de Restrições SE... ENTÃO Suponha que em um modelo de programação linear inteira existam 2 restrições cuja forma genérica é: Restrição 1  f(x) > 0 Restrição 2  g(x)  0 e tais que deseja-se assegurar que 1.Se f(x) > 0 então g(x)  0 (restrição 1 satisfeita implica em restrição 2 satisfeita) 2.Se f(x) ≤ 0 então g(x) pode assumir qualquer valor (restrição 1 não satisfeita não afeta a restrição 2) Para isso, as restrições a serem utilizadas no modelo são: Restrição 1  Restrição 2  f(x) ≤ M(1-y) - g(x) ≤ My onde M: n o arbitrariamente grande y: variável binária de suporte

Exemplo 7: Adicione a seguinte restrição ao problema do pagamento de cartões de crédito (exemplo 4):“Se os clientes em R1 enviarem seus pagamentos a um escritório em C1, clientes das outras regiões não podem enviar seus pagamentos ao escritório em C1” Se x 11 = 1 então x 21 = x 31 = x 41 = 0 Se x 11  0 então x 21 + x 31 + x 41 ≤ 0 -x 21 - x 31 - x 41  0 Incluiu-se, portanto, no modelo: Formas equivalentes f(x) g(x) x 11 ≤ M(1-y) x 21 + x 31 + x 41 ≤ My

 Um treinador de basquete deseja escolher o time inicial (5 jogadores) para um jogo. O time consiste de 7 jogadores que foram classificados de 1 a 3 de acordo com suas habilidades de linha, arremesso, rebote e defesa. As posições que cada jogador (D=defesa, C=centro, e A=ataque) pode jogar e suas habilidades são mostradas na tabela abaixo: JOGADORPOSIÇÃOLINHAARREMESSOREBOTEDEFESA 1D3313 2C2132 3D, A2322 4A, C1331 5D, A1312 6A, C3123 7D, A3221

O time inicial (com cinco jogadores) precisa satisfazer as seguintes restrições: Pelo menos 4 jogadores do time inicial precisam poder jogar na defesa Pelo menos 2 jogadores do time inicial precisam poder jogar no ataque Pelo menos 1 jogador do time inicial precisa poder jogar no centro A habilidade média de linha, arremesso e rebote do time inicial deve ser pelo menos igual a 2 Se o jogador 3 começa o jogo, então o jogador 6 não pode começar Se o jogador 1 começa o jogo, então ambos os jogadores 4 e 5 precisam começar O jogador 2 ou o jogador 3 precisam começar o jogo Dadas estas restrições, o treinador quer maximizar a habilidade total de defesa do time inicial. Formule um PI que o ajude a escolher o time.  Lista 3