Samuel Lourenço Jacob José Viralhadas Hands on Quantum Mechanics Symmetries in Quantum Mechanics

2 Introdução HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics (i)A Física Moderna é erguida com base em princípios de simetria, requerendo que as equações sejam invariantes sob certas transformações. (ii)As transformações de simetria satisfazem os axiomas matemáticos de um grupo.

3 Grupo HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Grupo (G  ({g 1, g 2, g 3, …}  : i. g a  g b = g c : g a, g b, g c  G (lei de composição interna) ii. g a  g b  g c  = (g a  g b )  g c = g a  (g b  g c ) (associatividade) iii.  1 g  G : 1 g  g a = g a  1 g = g a (existência de elemento neutro) iv.  g a -1  G : g a -1  g a = g a  g a -1 = 1 g (existência de inverso) Grupo Abeliano (comutativo)  : v.g a  g b = g b  g a (comutatividade) Exemplos: SO(2) (comutativo) SO(3) (não-comutativo)

4 Sub-grupo HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Sub-grupo  H  G  : i.H  ({h 1, h 2, h 3, …}  ii.{h 1, h 2, h 2, …}  {g 1, g 2, g 3, …} Sub-grupo normal  H   G   : iii. g n h i  g n -1  H g n, g n -1  G (condição de teste normal) Exemplos: (translações + rotações)(3-D)  grupo (translações)(3-D)  sub-grupo

5 Isomorfismos HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics a b = c a' b’ = c’ G G’

6 Sistemas Quânticos e Simetrias HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Definição de Raio Produto Interno Norma

7 Grupo de Simetrias HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics transforma tal que i)Conservação da Probabilidade ii)Invariância do Hamiltoniano

8 Teorema de Wigner HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics

9 Teorema de Wigner HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics isomorfos

10 Grupos de Simetria Contínuos HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Elemento geral de um grupo contínuo Unidade (matriz identidade no caso de espaços lineares) Decomposição Grupo Ortogonal (Rotações próprias + impróprias) Grupo Ortogonal Especial (Rotações próprias, matrizes det = 1) Não é um grupo (Rotações impróprias, matrizes det = -1)

11 Grupos de Simetria Contínuos HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Exemplo anterior: sub-grupo normal SO(3) do grupo O(3)

12 Grupos e Álgebras de Lie HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Álgebra de Lie (anel infinitesimal)

13 Álgebras de Lie HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics

14 Grupos e Álgebras de Lie HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Expandindo o termo entre parêntesis:

15 Teorema de Noether HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics

16 Teorema de Noether HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics

17 Relação entre Simetrias e Espaço de Hilbert HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Escolhemos todos os operadores que comutam entre si e uma base comum no espaço de Hilbert que é definida por observáveis conservados. Ex: Átomo de H - 3 números quânticos, reflectindo a invariância (simetria) da energia e do momento angular. O Espaço de Hilbert da MQ não é mais do que o espaço de representação de simetrias. Escolhemos todos os operadores que comutam entre si e uma base comum no espaço de Hilbert que é definida por observáveis conservados.

Fim

19 Sub-grupo normal HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics

20 Sub-grupo normal HonQM 2015/2016 – Symmetries in Quantum Mechanics Demonstração (continuação): g n, g n -1  G ; h i, h i -1  H 3. g n H = H g n  g n h i  H g n   h 6  H  g n h i = h 6 g n  g n h i g n -1 = h 6 g n g n -1 = h 6   g n h i g n -1  H  H   G * Sub-grupo Abeliano : 4. g n h i g n -1 = h i g n g n -1 = h i  g n h i g n -1  H  H   G (Todos os sub-grupos de um grupo Abeliano são normais)