PROBABILIDADE

PROBABILIDADE > INTRODUÇÃO As origens da matemática da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais referiam-se quase a todas a jogos de azar. Os jogadores ricos aplicavam o conhecimento da teoria das probabilidades para planejar estratégias de apostas. Mesmo hoje ainda há muitas aplicações que envolvem jogos de azar, tais como os diversos tipos de loteria, os cassinos de jogos, as corridas de cavalos e os esportes organizados.

PROBABILIDADE Todavia, a utilização das probabilidades ultrapassou de muito o âmbito desses jogos. Hoje os governos, as empresas, as organizações profissionais incorporam a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações. Na administração há necessidade de usar a probabilidade no seu dia a dia ?

PROBABILIDADE Independente de qual seja a aplicação em particular, a utilização das probabilidades indica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento futuro. Assim é que, em muitos casos, pode ser virtualmente impossível afirmar por antecipação o que ocorrerá; mas é possível dizer o que pode ocorrer. Por ex., se jogarmos uma moeda para o ar, de modo geral não podemos afirmar se vai dar cara, ou coroa. Além disso, mediante determinada combinação de julgamento, experiência e dados históricos, em geral é possível dizer quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro.

PROBABILIDADE Há numeroso exemplos de tais situações no campo dos negócios e do governo. A previsão da procura de um produto novo, o cálculo dos custos de produção, a previsão de malogro de safras, a compra de apólices de seguro, a contratação de um novo empregado, o preparo de um orçamento, a avaliação da reação de governos estrangeiros a uma mudança em nossa política de defesa, a avaliação do impacto de uma redução de impostos sobre a inflação – tudo isso contém algum elemento de acaso.

PROBABILIDADE As probabilidades são úteis porque auxiliam a desenvolver estratégias. Assim é que alguns motoristas parecem demonstrar uma tendência para correr a grande velocidade se acham que há pouco risco de ser apanhados; os investidores sentem-se mais inclinados a aplicar dinheiro se as chances de lucro são boas; e o leitor certamente carregará capa ou guarda-chuva se houver grande probabilidade de chover.

PROBABILIDADE Analogamente, uma empresa pode sentir-se inclinada a negociar seriamente com um sindicato quando há forte ameaça de greve; mais inclinada a investir em novo equipamento se há boa chance de recuperar o dinheiro; ou a contratar um novo funcionário que pareça promissor, etc.

PROBABILIDADE O ponto central em todas essas situações é a probabilidade de quantificar quão provável é determinado evento. As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento

PROBABILIDADE DE UM EVENTO As probabilidades dizem respeito a algum evento. O “evento” pode ser chuva, lucro, cara, rendimento de pelo menos 6%, terminar o curso, notas, etc. A probabilidade de um evento A, denotada por P(A), é um número de 0 a 1 que indica a chance de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1,00 é P(A), maior é a chance de ocorrência do evento A.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO A um evento impossível atribui-se probabilidade zero, enquanto que um evento certo tem probabilidade 1,00. Quando o meteorologista anuncia que “ a probabilidade de precipitação é quase zero”, o que ele realmente quer dizer é que é altamente inviável que haja qualquer precipitação durante o período a que se refere a previsão (pela experiência, os meteorologistas sabem que nada é impossível, pelo menos no que se refere ao tempo, por isso evitam atribuir probabilidade 0).

PROBABILIDADE DE UM EVENTO As probabilidades podem ser expressas de diversas maneiras, inclusive decimais, frações e percentagens. Por exemplo, a chance de chuva pode ser expressa como 20%, 2 em 10, 0,20 ou 1/5. A probabilidade de ocorrência de um evento é dada por um número que pode variar de 0 a 1,00.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Um dos conceitos matemáticos fundamentais utilizados no estudo das probabilidades é o de conjunto. Um conjunto é uma coleção de objetos ou itens que possuem característica(s) comum(ns). Por exemplo, os habitantes de Missal, as camionetas em Serranópolis, os rios de Matelândia, as farmácias de Medianeira, uma remessa de calculadoras e uma classe de estudantes – todos podem ser encarados como conjuntos.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS É importante definir cuidadosamente o que constitui o conjunto em que estamos interessados, a fim de podermos decidir se determinado elemento é ou não membro do conjunto. Conjunto é uma coleção bem definida de objetos ou itens.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Há duas maneiras de descrever os elementos de um conjunto. Uma consiste em relacionar todos eles, ou um número suficiente deles, de modo a deixar claro quais são os elementos do conjunto. Tal relação é incluída entre chaves. Uma segunda maneira de indicar um conjunto é enunciar uma regra ou outra coisa qualquer que defina a(s) característica(s) comum(ns) aos membros do conjunto.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Consideremos os seguintes exemplos: conjunto A = { Ari, João, Pedro} conjunto B = { todos os inteiros positivos menores que 9} conjunto C = { vencedores da F1 } Mas a probabilidade só tem sentido no contexto de espaço amostral, que é o conjunto de todos os resultados possíveis de um “experimento”. O termo “experimento” sugere a incerteza do resultado antes de fazermos as observações. Os resultados de um experimento chamam-se eventos.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Um espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Os resultados de um experimento chamam-se eventos. Costuma-se usar indiferentemente, em estatística, os termos “experimento” e “amostra” para designar o processo da tomada de observações.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Por exemplo, o experimento pode consistir na jogada de uma moeda para o ar 10 vezes, registrando-se o número de vezes o número de vezes em que dá cara. O espaço amostral será constituído dos números possíveis de cara, a saber: 0, 1, 2,..., 10. O experimento poderia igualmente considerar o número de coroas em 10 jogadas. Outro experimento poderia consistir na inspeção de uma fábrica, com vistas à ocorrência de acidentes. O espaço amostral é composto do número de acidentes que podem ocorrer, ou seja, 0, 1, 2, 3,...,n.

ESPAÇO AMOSTRAL E VENTOS Consideremos agora o experimento que consiste em “extrair uma carta de um baralho de 52 cartas”. Há 52 eventos elementares no espaço amostral. Podemos considerar outros eventos como combinações desses eventos elementares. Por exemplo, o evento “sai uma carta de copas” pode ser satisfeito por qualquer dentre 13 eventos elementares. Da mesma forma, o “sai um cinco” consiste de 4 eventos elementares, e o evento “a carta é vermelha” consiste de 26 eventos elementares, ou seja, ½ dos elementos do nosso espaço amostral.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Os cálculos levam em conta a maneira como os vários eventos de interesse podem relacionar-se entre si. Algumas dessas relações são descritas pelas expressões “complemento”, “mutuamente excludente” e “coletivamente exaustivo”.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS O complemento de um evento consiste de todos os resultados no espaço amostral que não façam parte do evento. Assim, o complemento do evento “a carta é de copas” consiste de todas as cartas que não são de copas (isto é, paus, ouros e espadas). O complemento do evento “a carta é um rei de ouros” consiste de todas as outras 51 cartas. Costuma-se denotar o complemento de um evento por uma linha. O complemento do evento A é A’.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Os eventos são mutuamente excludentes se não têm elemento em comum. Assim, na extração de uma só carta, os eventos “a carta é de copas” e “a carta é de ouros” são mutuamente excludentes, porque uma carta não pode ser ao mesmo tempo de copas e de ouros. Já os eventos “a carta é de copas” e “a carta é uma figura” não são mutuamente excludentes, porque algumas cartas de copas são também figuras.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Os eventos dizem-se coletivamente exaustivos se ao menos um tiver que ocorrer durante um dado experimento. Assim, na extração de uma carta, os eventos “a carta é de paus”, “a carta é de ouros”, “a carta é de espadas” e “a carta é de copas” são coletivamente exaustivos; esgotam todas as possibilidades. Da mesma forma, os eventos “a carta é preta” e “a carta é vermelha” são coletivamente exaustivos.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Finalmente convém às vezes notar que um evento e seu complemento são mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos. O complemento de um evento consiste de todos os outros resultados no espaço amostral. Os eventos são mutuamente excludentes se não têm elemento comum, ou se não podem ocorrer simultaneamente. Os eventos são coletivamente exaustivos se nenhum outro resultado é possível para o experimento em causa.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Eis alguns outros exemplos. Esses eventos devem ser considerados complementares: 1. Cara ou coroa na jogada de uma moeda. 2. Feridos e não-feridos num acidente. 3. Apanhou ou não a bola. 4. Atendeu ou não ao telefone.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Os eventos que seguem devem ser considerados mutuamente excludentes: 1. Uma pessoa tem um irmão, tem dois irmãos, tem três irmãos. 2. As faces de um dado. 3. Pedro obtém conceito A em matemática obtém conceito B em matemática, obtém conceito C em matemática.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Os eventos que seguem devem ser considerados coletivamente exaustivos: 1. Qualquer dos complementos relacionados acima. 2. As faces de uma dado. 3. As notas de Pedro em matemática (acima).

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS Muitas vezes é útil representar graficamente um espaço amostral, porque isso torna mais fácil visualizar-lhe os elementos. O instrumento para tal representação é o diagrama de Venn, que representa os espaços amostrais e os eventos como círculos, quadrados, ou outra figura geométrica conveniente