Cálculo Diferencial e Integral III Aula 8 Prof(a): Ana Lucia de Sousa

Objetivos Identificar uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Determinar a solução geral de uma equação não homogênea com coeficientes constantes.

EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES Definição: Uma EDO linear não homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes pode ser representada pela seguinte equação:

Também podemos representar a equação da seguinte forma: Onde, a,b e c são constantes e f(x) é uma função de x.

FUNÇÃO F(X) Função f(x)? f(x) pode ser uma função: a)Polinomial b) Exponencial c) Trigonométrica

Exemplos:

SOLUÇÃO GERAL A solução geral da equação linear não homogênea é dada por: Onde, yh(x) é a solução da equação linear homogênea. yp(x) é uma solução particular.

COMO ENCONTRAR A SOLUÇÃO GERAL? Veja que o processo não é difícil. Devemos seguir as seguintes etapas: Passo 1. Encontrar a solução homogênea yh(x). Passo 2. Encontrar a solução particular yp(x). Passo 3. Encontrar a solução geral da EDO y(x). Nesse caso basta somar as duas funções encontradas nos passos 1 e 2.

COMO ENCONTRAR A SOL. HOMOGÊNEA yh(x)? Vamos considerar a equação não homogênea abaixo: Igualar a zero Resolver a equação característica

Resolver a equação característica Resolvendo a equação do 2º grau encontramos as raízes: A solução homogênea será:

COMO ENCONTRAR A SOL. PARTICULAR yp(x)? A solução particular será encontrada através do método dos coeficientes a determinar, também conhecido como Método de Descartes. Esse método considera três casos.

Seja a equação Caso 1: f(x) é uma função exponencial ekx A solução particular será da seguinte forma: Onde h é o grau de multiplicidade de k (raiz da equação).

Seja a equação

Exemplo: Seja a equação

A solução particular yp é da forma Vamos derivar yp até a derivada de mais alta ordem contida na equação.

Vamos substituir na equação dada

Solução geral:

Seja a equação Caso 2: f(x) é uma função polinomial de grau m. A solução particular será dada por um polinômio de grau m + h, onde m é o grau da função f(x) e h é a ordem da derivada de menor ordem contida na equação dada inicialmente.

Seja a equação

Exemplo: Seja a equação A solução particular yp é da forma Grau da função f(x): m = 2 Grau da menor derivada contida na equação: h = 0 Logo, a solução particular será um polinômio de grau 2, pois m + h = 2 + 0 = 2.

Seja a equação A solução particular yp é da forma Vamos derivar yp até a derivada de mais alta ordem contida na equação.

Vamos substituir na equação dada

Solução particular:

Solução da equação homogênea:

Solução geral:

Seja a equação Caso 3: f(x) é uma função trigonométrica da forma senkx ou coskx. Nesse caso a solução particular será da forma Onde h representa o grau de multiplicidade da raiz imaginária ki da equação característica.

Vejamos:

Exemplo: Seja a equação

A solução particular yp é da forma A eq. Característica não apresenta raiz complexa Agora vamos derivar yp até a derivada de mais alta ordem contida na equação.

Vamos substituir na equação dada Inicialmente.

Resolvendo vamos encontrar:

Solução geral:

Cálculo Diferencial e Integral III Atividade Prof(a): Ana Lucia de Sousa

Soluções particulares 1. Determine a solução particular da edo Solução: Grau da função f(x): m = 1 Grau da derivada de menor ordem contida na equação: h = 1

Grau da solução particular: m + h, logo teremos uma solução particular de grau 2, pois m + h = 1 + 1 = 2. yp = Ax2 + Bx + C

2. Determine a solução particular da edo h = 1, pois 2 é raiz da eq. Característica. Logo a solução particular será: yp = Axe2x Solução:

3. Determine a solução particular da edo h = 1 e k = 1. Existe uma raiz imaginária i. Logo a solução particular será: yp = (Asenx + Bcosx)x Solução: