2- Derivada- A Linguagem do Movimento Ensino Superior Cálculo 1 2- Derivada- A Linguagem do Movimento Amintas Paiva Afonso

A linguagem do movimento Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas. A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em qualquer fenômeno que envolva funções. Mas, quando se trata de corpos em movimento, esta interpretação é especialmente precisa e interessante. De fato, historicamente, foi o que deu origem ao estudo das derivadas.

A lei da queda dos corpos A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático - as derivadas. Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?... Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles. Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julho de 1646 — Hanôver, 14 de Novembro de 1716) Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 — Londres, 31 de Março de 1727)

A linguagem do movimento Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de mudança dos fenómenos físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram as portas ao espectacular desenvolvimento científico e tecnológico que transformou o mundo em 3 séculos tanto ou mais que em toda a história anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o sonho pitagórico: explicar o mundo com a Matemática. () O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida pelo próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de “ter desfeito o coração de Leibniz”.

Aplicação das Derivadas na Geometria Analítica

Introdução Se uma função é representada graficamente por uma reta (função afim), facilmente sabemos com que velocidade varia essa função. Corresponde, é claro, à declividade da reta representativa da função. x y O f(b) f(b) - f(a) y  f(a) b – a x y x tmv = tg = taxa média de variação a b

E... se o gráfico da função não for uma reta? Com que velocidade (rapidez) varia essa função? O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente” a curva por uma reta e calcular a declividade dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas…

E... se o gráfico da função não for uma reta? Com que velocidade (rapidez) varia essa função? O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente” a curva por uma reta e calcular a declividade dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas… x O y f(b) y x tmv = f(b) - f(a) y f(a) b – a x a b

E… quando tomamos o limite? ZOOM IN O x-x0 x0 f(x) x f(x0) y f(x) - f(x0) O y Vamos, então, estudar Derivadas!  x

Outros Exemplos Exemplo 1 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2 y(ºC) x0=1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x O limite da razão y/x, quando x  0, exprime que, quando x aumenta de 1 unidade de tempo a partir de x0 = 1h, a temperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC. (aproximadamente, pois se trata de limites)

Temperatura de uma sala Noção Intuitiva Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de x0 = 1h. y(ºC) x0=1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x x f(x) x y y/ x 1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5 1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2 1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1 1h1seg 1,0002777 1,000555 0,0002777 0,000555 2,0003601 À medida que x se aproxima de zero, y/x se aproxima de 2.

Exemplos Exemplo 2 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no ponto x0 = 3, ou seja, f’(3). Temos: x0 = 3 e f(x0) = f(3) = 2.32 = 18

Exemplos Exemplo 3 – Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x no ponto x0 = 2, ou seja, f’(2). Temos: x0 = 2 e f(x0) = f(2) = 22 – 6.2 = -8

Exemplos Exemplo 4 – Determinar a derivada da função f(x) = x no ponto x0 = 0, ou seja, f’(0). Temos: x0 = 0 e f(x0) = f(0) = 0 = 0 Nesse caso, dizemos que f(x) = x não tem derivada no ponto x0 = 0.

Exemplos Exemplo 5 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de motores, sendo o custo mensal de produção dado por: C(x) = 1500 + 220x (em reais). a) Determine a derivada no ponto x0 = 100 motores. b) Interprete o resultado obtido. a) f(x0) = f(100) = 1500 + 220(100)1/2 = 3700 b) O resultado f’(x0) = 11, significa que a cada aumento de unidade de motor, há um aumento de 11 reais no custo mensal, a partir de 100 motores.

Exemplos Exemplo 6 - Consideremos a função C(x) = custo da produção de x sapatos, em reais. Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos, tenhamos a derivada C’(x0) = 20 reais por sapato. O que significa isso? Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20 reais, aproximadamente.

Temperatura de uma sala y(ºC) x0=1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x a) Se x  x0, então x  0. b) Se x = x - x0, então x = x + x0 c) f(x) = f(x + x0)