Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade

Bibliografia: Mecânica Vetorial para Engenheiros (estática) 9ª Edição Ferdinand P. Beer/Johnston / E. Russell Johnston, Jr Neste módulo usaremos os capítulos: 5 Forças distribuídas: Centroides e centros de gravidade Centroides 2D por geometria e por integração 18/11 Cargas distribuídas sobre Vigas 25/11 Sólidos 28/11 e revisão 6 Análise de estruturas Treliças Análise pelo método das seções 2/12 Análise de Treliças pelo método dos momentos 5/12 Estruturas de máquinas 9/12 2ª Prova: 12/12 Prova Final: 19/12

Conteúdo Introdução Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional Centroides e Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas Centroides de Superfícies Planas de Formatos Usuais Centroides de Curvas Planas de Formatos Usuais Placas e Fios Compostos Problema Resolvido 5.1 Determinação de Centroides por Integração Problema Resolvido 5.4 Teoremas de Pappus-Guldinus Problema Resolvido 5.7 Cargas Distribuídas sobre Vigas Problema Resolvido 5.9

Introdução A Terra exerce uma força gravitacional em cada uma das partículas que constituem um corpo. Essas forças podem ser substituídas por uma única força equivalente, de intensidade igual ao peso do corpo e aplicada em seu centro de gravidade. O centroide de uma superfície é análogo ao centro de gravidade de um corpo e a para a sua determinação é utilizado o conceito de momento de primeira ordem de uma área. A determinação da área de uma superfície de revolução ou do volume de um sólido de revolução é possível com a utilização dos Teoremas de Pappus-Guldinus.

Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional Centro de gravidade de uma placa: Centro de gravidade de um fio:

Centroides e Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas Centroide de uma superfície: Centroide de uma curva:

Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas Uma superfície é simétrica em relação a uma eixo BB’ se para cada ponto P da superfície há um ponto P’ tal que a linha PP’ é perpendicular a BB’ e é dividida em duas partes iguais por esse eixo. O momento de primeira ordem de uma superfície em relação a um eixo de simetria é zero. Se uma superfície tiver dois eixos de simetria, seu centroide deverá se localizar na interseção dos dois. Se uma superfície tiver um eixo de simetria, seu centroide fica localizado sobre esse eixo. Uma superfície é simétrica em relação a um centro O se, para cada elemento de superfície dA em (x,y) existir um elemento dA’ de mesma área em (-x,-y). O centroide de uma superfície coincide com o seu centro de simetria.

Centroides de Superfícies Planas de Formatos Usuais

Centroides de Curvas Planas de Formatos Usuais

Placas e Fios Compostos Placas compostas: Superfícies compostas:

Problema Resolvido 5.1 SOLUÇÃO: Dividimos a área em um triângulo, um retângulo e um semicírculo com um orifício circular. Calculamos os momentos de primeira ordem de cada superfície em relação aos eixos x e y. Encontramos a área total e os momentos de primeira ordem do retângulo, do triângulo e do semicírculo. Subtraímos a área e o momento de primeira ordem do orifício circular. Para a superfície plana mostrada, determine os momentos de primeira ordem em relação aos eixos x e y e a localização do centroide. Calculamos as coordenadas do centroide da superfície dividindo os momentos de primeira ordem pela área total.

Problema Resolvido 5.1 Encontramos a área total e os momentos de primeira ordem do retângulo, do triângulo e do semicírculo. Subtraímos a área e o momento de primeira ordem do orifício circular.

Problema Resolvido 5.1 Calculamos as coordenadas do centroide da superfície dividindo os momentos de primeira ordem pela área total.

Determinação de Centróides por Integração A integração dupla para encontrar o momento de primeira ordem pode ser evitada definindo-se o elemento de área dA como um retângulo estreito ou um setor estreito.

Problema Resolvido 5.4 SOLUÇÃO: Determinamos a constante k. Calculamos a área total. Utilizando um elemento diferencial vertical ou horizontal, encontramos os momentos de primeira ordem por integração simples. Determine por integração direta a localização do centroide da superfície sob um arco parabólico. Determinamos as coordenadas do centroide.

Problema Resolvido 5.4 SOLUÇÃO: Determinamos a constante k. Determinamos a área total.

Problema Resolvido 5.4 Utilizando um elemento diferencial vertical, encontramos os momentos de primeira ordem por integração simples.

Problema Resolvido 5.4 Ou, utilizando um elemento horizontal, encontramos os momentos de primeira ordem por integração simples.

Problema Resolvido 5.4 Encontramos as coordenadas do centroide.

Teoremas de Pappus-Guldinus Uma superfície de revolução é gerada pela rotação de uma curva no plano em torno de um eixo fixo. A área de uma superfície de revolução é igual ao produto do comprimento da curva geratriz pela distância percorrida pelo centroide durante a rotação.

Teoremas de Pappus-Guldinus Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma superfície plana em torno de um eixo fixo. O volume de um sólido de revolução é igual ao produto da área da superfície geratriz pela distância percorrida pelo centroide da superfície durante a rotação.

Problema Resolvido 5.7 SOLUÇÃO: Aplicamos o teorema de Pappus-Guldinus para determinar os volumes dos sólidos de revolução para o contorno retangular total e para a seção retangular interna (vazada). Multiplicamos o volume da polia pela densidade para obter sua massa e multiplicamos a massa pela aceleração da gravidade para obter o peso da polia. O diâmetro externo de uma polia é 0,8 m, e a seção transversal de seu contorno externo está mostrada acima. Sabendo que a polia é feita de aço e que a densidade do aço é , determine a massa e o peso do contorno externo.

Problema Resolvido 5.7 SOLUÇÃO: Aplicamos o teorema de Pappus-Guldinus para determinar os volumes dos sólidos de revolução para o contorno retangular total e para a seção retangular interna (vazada). Multiplicamos o volume pela densidade para obter a massa e multiplicamos a massa pela aceleração da gravidade para obter o peso da polia.

Cargas Distribuídas sobre Vigas Uma carga distribuída pode ser caracterizada por uma curva representando a carga w (em N/m) sustentada por unidade de comprimento. A carga total sustentada pela viga é igual à área sob a curva. Uma carga distribuída pode ser substituída por uma carga concentrada com intensidade igual à área sob a curva de carga e linha de ação passando pelo centroide dessa superfície.

Problema Resolvido 5.9 SOLUÇÃO: A intensidade da carga concentrada é igual à área da superfície sob a curva de carga. A linha de ação da carga concentrada passa pelo centroide da superfície sob a curva. Determinamos as reações de apoio somando os momentos em relação às extremidades da viga. Uma viga suporta a carga distribuída mostrada acima. Determine a carga concentrada equivalente e as reações de apoio.

Problema Resolvido 5.9 SOLUÇÃO: A intensidade da carga concentrada é igual à área da superfície sob a curva de carga. A linha de ação da carga concentrada passa pelo centroide da superfície sob a curva.

Problema Resolvido 5.9 Determinamos as reações de apoio somando os momentos em relação às extremidades da viga.