Transformações Lineares no Plano Prof. Ademilson

TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS   São aquelas transformações lineares que ocorrem de em , ou seja, operadores lineares . Faremos um estudo das transformações mais importantes juntamente com as respectivas interpretações geométricas. Inicialmente: “Operador Identidade”   Se I é a matriz identidade n x n, então, para cada vetor temos: o que implica em: de modo que a multiplicação por I leva cada vetor do Rn em si mesmo.

Operação de Reflexão:   ● Em torno do eixo x.

Operação de Reflexão:   ● Em torno do eixo y.

● Na origem.

● Em torno da reta y = x.

● Em torno da reta y = - x.

Operação de Dilatação ou Contração: ● Na direção do vetor.

Observações: O valor do número real n determina a “razão” ou o “fator” desta operação. Por exemplo, se dizemos que o operador linear é uma dilatação de razão (ou fator) 3.

● Na direção do eixo x (ou horizontal).

● Na direção do eixo y (ou vertical).

Operação de Cisalhamento:   ● Na direção do eixo x.

Operação de Cisalhamento: ● Na direção do eixo y.   ● Na direção do eixo y. Nota: O efeito desse cisalhamento é similar ao cisalhamento na direção do eixo x, porém na direção do eixo y .   Esse cisalhamento também é chamado de “cisalhamento vertical de fator n”.

Operação de Rotação:

Outras notações:

Exemplo:

Exemplo / / /

TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS   São aquelas transformações lineares que ocorrem de R³ em R³, ou seja, operadores lineares R³  R³. Faremos um estudo das transformações mais importantes juntamente com as respectivas interpretações geométricas. Operação de Reflexão: Reflexões em relação aos planos coordenados: A reflexão em relação ao plano xOy é a transformação que leva cada ponto (x,y,z) na sua imagem (x,y,-z), simétrica em relação ao plano xOy. Assim, essa transformação é definida por: T(x,y,z) = (x,y,-z)

A reflexão em torno do eixo Ox é a transformação linear que leva cada ponto (x, y, z) à sua imagem (x, - y, - z) , que é simétrica em relação ao eixo Ox. Assim, esse operador linear é definido por:

A reflexão em relação à origem é a transformação linear que leva cada ponto ( x, y, z ) à sua imagem ( - x, - y, - z ) , que é simétrica em relação à origem. Assim, esse operador linear é definido por:

Operação de Rotação:   ● Rotação em torno do EIXO Oz: A rotação em torno do eixo z positivo é a transformação linear que faz cada ponto ( x, y, z ) descrever um ângulo θ em sentido anti-horário. Assim, esse operador linear é definido por:

Produto escalar

Exemplo:    Calcular o ângulo α formado pelos vetores v e T(v) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo θ, nos seguintes casos: θ = 180º e v = (3, 0, 3). θ = 90º e Solução:1)

Solução:1)