Função Profª. Carla S. Moreno Battaglioli MATEMÁTICA Unidade 1 Função Profª. Carla S. Moreno Battaglioli

Situação problema: Considere o quadrado da figura abaixo cujos lados medem ( centímetros) e cujo perímetro ( centímetros) representa a soma de todos os lados.

b) Qual será o perímetro quando os lados medem 2 cm? Resposta b) Qual será o perímetro quando os lados medem 2 cm? Resposta

c) Vamos armazenar essa informação na forma de tabela. Complete: Resposta 1 2 3 4 10 15 20

d) Qual é a “ fórmula matemática” que calcula o perímetro P desse quadrado quando os lados medem centímetros? Resposta

Uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento ( no caso o lado do quadrado) um único valor da função ( no caso, o perímetro do quadrado). Podemos representar uma função de várias maneiras: a) por uma fórmula :

c) Por uma tabela: 1 4 2 8 3 12 16 10 40 15 60 20 80

d) Por um gráfico:

d) por diagramas:

Definição de Função: Dados dois conjuntos A e B, denomina-se função de A em B toda relação onde a cada elemento de A está associado um único elemento de B. Indica-se por:    

Observe: Empregando a linguagem das funções: conjunto A é o domínio da função. conjunto B é o contradomínio da função. o subconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos elementos de A é denominado conjunto imagem ou apenas imagem da função.

Acima temos um exemplo de uma função de A em B, definida por Onde: Outro exemplo: Acima temos um exemplo de uma função de A em B, definida por Onde: X é a variável independente ( DOMÍNIO ) Y é a variável dependente ( IMAGEM )

Outro exemplo de função: Função definida por f(x) = x + 5 ou y = x + 5 Dom={1, 4, 7} , C.D.={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e Im = { 6,9,12}

Exercícios: 1) Verifique se os diagramas verificam, ou não, uma função Exercícios: 1) Verifique se os diagramas verificam, ou não, uma função. Em caso afirmativo, determine o Domínio e a Imagem: a) Resposta

b) Resposta

c) Resposta

2) Considere função definida por y = 2x + B 2) Considere função definida por y = 2x + B. Calcular o valor de B, sabendo que f(1) = 3. Resposta

Exercício

O gráfico de uma função y=f(x) nos fornece muitas informações sobre ela. Veja:

O sinal da função.

As raízes da função.

Em que intervalos a função é crescente, decrescente ou constante.

O domínio e a Imagem da função.

Também podermos determinar o domínio de uma função conhecendo apenas sua lei de formação, basta olhar para as únicas situações que uma função deixa de existir (restrições): 1 - Não existe, em R, raiz quadrada de número negativo (e de nenhuma outra raiz de índice par); 2 - Não existe divisão por zero; 3 - Não existe logaritmo de número negativo ou de zero; 4 - Não existe base de logaritmo negativa, zero ou 1; 5 - Não existe tangente de 90 graus e de 270.

Determine o domínio da função . EXEMPLO 1 Determine o domínio da função . Resolução: Não existe divisão por zero, isto é, o denominador deve ser diferente de zero.

Determine o domínio da função . EXEMPLO 2 Determine o domínio da função . Resolução: Não existe divisão por zero e nem raiz quadrada de um número negativo, isto é, o denominador deve ser maior que zero.

Dada a função , determine seu domínio: EXEMPLO 3 Dada a função , determine seu domínio: Resolução: Vamos fazer por partes: Primeiro, sabemos que não existe raiz com índice par de números negativos, portanto: 2x+5 0 2x -5 x - 5/2 Também sabemos que não existe divisão por zero, portanto: Temos duas restrições e agora devemos juntá-las:

Função Inversa Dada uma função , se f é bijetora (C.D. = Im) , então define-se a função inversa f -1 como sendo a função de B em A , tal que f -1 (y) = x . Veja a representação a seguir:

Podemos observar que: a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y , e “isolar” o y. b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f . c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f . d) Se o par ordenado (a,b) pertence a função, sua inversa admitirá o par ordenado (b,a).

Exemplo: Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3. Resolução: Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3 Explicitando y em função de x, vem: 2y = x - 3 \ y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada

Obs: As curvas representativas de f e de f -1 são simétricas em relação à reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Função Composta Chama-se função composta ( ou função de função) a função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função. Veja o esquema a seguir: Simbologia : gof (x) = g(f(x))

Exemplo: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, determine: a) gof(x) gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15 b) fog(x). fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3 Observe que, geralmente, fog ≠ gof .

Para saber mais sobre função: Acesse os sites: http://pt.wikipedia.org/wiki/Função www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/funcoes/funcao1g.html http://www.vestibular1.com.br/revisao/r300.htm Bibliografia: Giovanni, José Ruy e outros. Matemática Fundamental, - Uma Nova Abordagem: ensino Médio: volume único. São Paulo. FTD, 2002. DANTE, Luis Roberto. Matemática Contexto & Aplicações. São Paulo, Ática, 1999. Spinelli,W; Souza,MH e Reame,E. Matemática: ensino médio. São Paulo, Editora Nova Geração, 2005. FIM

Lista de exercícios para serem resolvidos pelo aluno e discutidos com o professor: Um taxista cobra de cada passageiro uma taxa fixa de R$ 4,00, chama de bandeirada e mais R$ 3,00 por quilômetro rodado. a) Quanto pagará um passageiro que rodar 4 quilômetros? b) E se ele rodar 10 quilômetros, quanto pagará? c) Uma pessoa gastou R$ 49,00, quantos quilômetros ela andou nesse táxi? d) Qual é a lei da função, sendo x a quantidade de quilômetros rodados e f(x) o valor a ser pago pelo passageiro.

2) Sendo A={-2,-1,0,1,2} e B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2) Sendo A={-2,-1,0,1,2} e B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}. Represente cada uma das relações de A em B por diagramas, verifique se ela representa uma função e, em caso afirmativo, determine seu domínio e seu conjunto imagem: a) R é uma relação de A em B definida por y=2.x. b) R é uma relação de A em B definida por y=x+1. c) R é uma relação de A em B definida por y=x-3. d) R é uma relação de A em B definida por y=2x+2. 3) Sendo a função definida por y=2x-1 cujo domínio é D={-2,-1,0,1,2,3,4} Determine o conjunto imagem dessa função. 4) Sendo I={2,3,4,5} o conjunto imagem da função definida por y=x-1, determine o conjunto domínio dessa função.

Respostas: a) 4 cm. b) 8 cm. c) Voltar d) 1 4 2 8 3 12 16 10 40 15 60 20 80

Não é uma função pois existe um elemento do domínio ( o número 9) que não se relaciona com nenhum elemento do contradomínio. Sim, é função pois cada elemento do domínio A está associado a um único elemento do contradomínio B. Dom={1,3,5,7} e Imagem={4,6,8,10}. C) Não é função pois existe um elemento do domínio ( o número 5) que se associa a dois elementos do contradomínio.

O que significa saber que f(1) = 3 O que significa saber que f(1) = 3? Significa que quando colocamos o valor 1 no lugar do "x" na nossa função, iremos encontrar 3. Vamos ver... sabendo que y=f(x), então f(x) = 2x + B     e     f(1) = 2.(1) + B,     e também     f(1) = 3    então: 3 = 2.(1) + B        3 = 2 + B 3 - 2 = B Voltar 1 = B

FIM