Função derivada e derivadas de ordem superior Aula 08 Função derivada e derivadas de ordem superior
A Derivada com uma Função Para , podemos considerar os valores de para os quais o limite abaixo existe Assim podemos considerar como uma nova função chamada derivada de definida pela expressão acima.
Vamos Recordar! Sabemos que o valor de em pode ser interpretado geometricamente como a inclinação da reta tangente de no ponto
Reta tangente
Observação A função é denominada derivada de , e o seu domínio é o conjunto e pode ser menor que o domínio de .
Exemplos 2) a) Se encontre uma fórmula para . b) Ilustre, comparando os gráficos de e .
Exemplos
Exemplos 3) Se , encontre a derivada de . Estabeleça o domínio de .
Exemplos
Exemplos 4) Encontre se .
Notações Para , onde é a variável independente e a variável dependente, Para , ou .
Definição Uma função é derivável ou diferenciável em se existir. É derivável ou diferenciável em um intervalo aberto ou ou ou , se for diferenciável em cada número do intervalo.
Exemplo Onde a função é diferenciável?
Exemplo
Teorema Se uma função é diferenciável em , então é contínua em . A recíproca é falsa: é contínua em pois, Mas, pelo exemplo anterior, não é diferenciável em .
Funções não diferenciáveis
Funções não diferenciáveis
Funções não diferenciáveis
Derivadas de ordem superior Segunda derivada de : Notação de Leibniz
Exemplos Se , encontre e interprete .
Exemplos
Aceleração Se for a função posição de um objeto que se move em uma reta, então a velocidade é a taxa de variação do espaço dada por ,
Aceleração e, a taxa de variação da velocidade é a aceleração dada por
Derivadas de ordem superior Terceira derivada de : A n-ésima derivada de denotada por é obtida derivando n vezes
Exemplos 2) Se , encontre e .
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