Álgebra Linear Aula 10 Transformações Lineares Prof. Gabriel Bádue

Motivação

Teoria Sejam 𝑉 e 𝑊 espaços vetoriais. Uma aplicação 𝑇:𝑉→𝑊 é chamada transformação linear de 𝑉 em 𝑊 se: I) 𝑇 𝐮+𝐯 =𝑇 𝐮 +𝑇(𝐯) II) 𝑇 𝛼𝐮 =𝛼𝑇(𝐮) para ∀𝐮,𝐯∈𝑉 e ∀𝛼𝜖IR

Exemplos 1) T: IR2 → IR3, 𝑇 𝑥,𝑦 =(3𝑥,−2𝑦,𝑥−𝑦) é linear? 4) T: V → V, 𝑇 𝐯 =𝐯 é linear? 5) T: V → W, 𝑇 𝐯 =𝟎 é linear? 6) T: IR3 → IR3, 𝑇 𝐯 =−𝐯 é linear? 7) T: IR3 → IR3, 𝑇 𝑥,𝑦,𝑧 =(𝑥,𝑦,0) é linear? 8) 𝐷: 𝑃 𝑛 → 𝑃 𝑛 , 𝐷 𝑓 =𝑓′ é linear? 9) 𝑇 𝐴 : IR2 → IR3, 𝑇 𝐴 𝐯 =𝐴𝐯, é linear? 𝐴= 1 2 −2 3 0 4

Teoria Propriedade Se 𝑇:𝑉→𝑊 for uma transformação linear, então 𝑇 𝑎 1 𝐯 1 + 𝑎 2 𝐯 2 = 𝑎 1 𝑇 𝐯 1 + 𝑎 2 𝑇( 𝐯 2 ) para ∀ 𝐯 1 , 𝐯 2 ∈𝑉 e ∀ 𝑎 1 , 𝑎 2 ∈ IR. Assim, 𝑇 𝑎 1 𝐯 1 + 𝑎 2 𝐯 2 +…+ 𝑎 𝑛 𝐯 𝑛 = 𝑎 1 𝑇 𝐯 1 + 𝑎 2 𝑇 𝐯 2 +…+ 𝑎 𝑛 𝑇( 𝐯 𝑛 ) para ∀ 𝐯 𝑖 ∈𝑉 e ∀ 𝑎 𝑖 ∈ IR, 𝑖=1,2,…,𝑛.

Teoria Suponhamos agora que 𝐯 1 , 𝐯 2 ,…, 𝐯 𝑛 seja uma base do domínio V e que se saiba quais são as imagens 𝑇 𝐯 1 , 𝑇 𝐯 2 , …,𝑇( 𝐯 𝑛 ) dos vetores desta base: Sempre é possível obter a imagem 𝑇(𝐯) de qualquer 𝐯∈𝑉, pois sendo 𝐯 uma combinação linear dos vetores da base, isto é 𝐯=𝑎 1 𝐯 1 + 𝑎 2 𝐯 2 +…+ 𝑎 𝑛 𝐯 𝑛 Temos, 𝑇 𝐯 = 𝑎 1 𝑇 𝐯 1 + 𝑎 2 𝑇 𝐯 2 +…+ 𝑎 𝑛 𝑇( 𝐯 𝑛 )

Exemplo 2 Seja 𝑇: 𝐼𝑅 3 → 𝐼𝑅 2 uma transformação linear e 𝐵= 0,1,0 , 1,0,1 ,(1,1,0) uma base do 𝐼𝑅 3 . Determinar 𝑇(5,3,−2), sabendo que 𝑇 0,1,0 = 1,−2 , 𝑇 1,0,1 =(3,1) e 𝑇 1,1,0 =(0,2).

Teoria Chama-se núcleo de uma transformação linear 𝑇:𝑉→𝑊 ao conjunto de todos os vetores 𝐯∈𝑉 que são transformados em 𝐎∈𝑊. Indica-se esse conjunto por 𝑁(𝑇) ou ker⁡(𝑇).

Exemplo 3 Determine o núcleo das seguintes transformações lineares. b) 𝑇: 𝐼𝑅 3 → 𝐼𝑅 2 ,𝑇 𝑥,𝑦,𝑧 =(𝑥−𝑦+4𝑧,3𝑥+𝑦+8𝑧). Propriedades i) O núcleo de uma transformação linear 𝑇:𝑉→𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉. ii) Uma transformação linear 𝑇:𝑉→𝑊 é injetora se, e somente se, 𝑁 𝑇 ={𝟎}.

Teoria Chama-se imagem de uma transformação linear 𝑇:𝑉→𝑊 ao conjunto dos vetores 𝐰∈𝑊 que são imagens de pelo menos um vetor 𝐯∈𝑊. Indica-se este conjunto por Im(𝑇). 𝑇 é injetora se, e somente se, Im 𝑇 =𝑊

Teoria Propriedade A imagem de uma transformação 𝑇:𝑉→𝑊 é um subespaço de 𝑊. Teorema Seja 𝑉 um espaço de dimensão finita e 𝑇:𝑉→𝑊 uma transformação linear. Então, dim 𝑁(𝑇) + dim 𝐼𝑚(𝑇) = dim 𝑉 . Exemplo 4 Determinar o núcleo e a imagem do operador linear 𝑇: 𝐼𝑅 3 → 𝐼𝑅 3 , 𝑇 𝑥,𝑦,𝑧 =(𝑥+2𝑦−𝑧,𝑦+2𝑧,𝑥+3𝑦+𝑧)

Teoria Seja 𝑇:𝑉→𝑊 uma transformação linear, 𝐴 uma base de 𝑉 e 𝐵 uma base de 𝑊. Na forma matricial, esta transformação pode ser representada por 𝑇(𝐯) 𝐵 = 𝑇 𝐵 𝐴 [𝐯] 𝐴 Sendo a matriz 𝑇 𝐵 𝐴 denominada matriz de 𝑇 em relação às bases A e B.

Exemplo 4 Seja 𝑇: 𝐼𝑅 3 → 𝐼𝑅 2 ,𝑇 𝑥,𝑦,𝑧 =(2𝑥−𝑦+𝑧,3𝑥+𝑦−2𝑧), linear. Considere as bases 𝐴={ 1,1,1 , 0,1,1 , 0,0,1 } e 𝐵= 2,1 , 5,3 . a) Determinar [𝑇] 𝐵 𝐴 . b) Se 𝐯= 3,−4,2 (coordenadas em relação à base canônica do IR3), calcular 𝑇 (𝐯) 𝐵 utilizando a matriz encontrada.

Teoria Operações com Transformações Lineares Sejam 𝑇 1 :𝑉→𝑊 e 𝑇 2 :𝑉→𝑊 transformações lineares. 1) Adição 𝑇 1 + 𝑇 2 :𝑉→𝑊, 𝑇 1 + 𝑇 2 𝐯 = 𝑇 1 𝐯 + 𝑇 2 𝐯 , ∀𝐯∈𝑉 2) Multiplicação por escalar 𝛼𝑇:𝑉→𝑊, 𝛼𝑇 𝐯 =𝛼𝑇(𝐯) 3) Composição 𝑇 2 𝑜 𝑇 1 :𝑉→𝑈, 𝑇 2 𝑜 𝑇 1 𝐯 = 𝑇 2 ( 𝑇 1 𝐯 ),∀𝐯∈𝑉

Exemplo 5 Sejam 𝑇 1 : 𝐼𝑅 2 → 𝐼𝑅 3 e 𝑇 2 : 𝐼𝑅 2 → 𝐼𝑅 3 transformações lineares definidas por 𝑇 1 𝑥,𝑦 =(𝑥+2𝑦,2𝑥−𝑦,𝑥) e 𝑇 2 𝑥,𝑦 = −𝑥,𝑦,𝑥+𝑦 . Determinar: a) 𝑇 1 + 𝑇 2 b) 3𝑇 1 −2 𝑇 2 b) A matriz canônica de 3𝑇 1 −2 𝑇 2 .

Teoria Transformações Lineares Planas Reflexões Reflexões em torno do eixo 𝑥. Reflexões em torno do eixo 𝑦. Reflexões na origem. Reflexão em torno da reta y=𝑥. Reflexão em torno da reta y=−𝑥.

Teoria Transformações Lineares Planas Dilatações e Contrações Dilatação ou contração na direção do vetor. Dilatação ou contração na direção do eixo dos 𝑥. Dilatação ou contração na direção do eixo dos 𝑦. Cisalhamentos Cisalhamento na direção do eixo dos 𝑥. Cisalhamento na direção do eixo dos 𝑦. Rotação

Teoria Transformações Lineares no Espaço Reflexões Reflexões em relação aos planos coordenados. Reflexões em relação aos eixos coordenados. Reflexões na origem. Rotação