Introdução ao Método dos Elementos Finitos UNICAMP/DMC Prof. Renato Pavanello

1- HISTÓRICO e INTRODUÇÃO “ O Método dos Elementos Finitos é um procedimento numérico para Análise de Estruturas e Meios Contínuos ” “ O Método dos Elementos Finitos é uma técnica utilizada para obtenção de soluções aproximadas de Equações Diferenciais ”

APLICAÇÕES: Problemas que não admitem soluções analíticas (fechadas) - Domínio ( Eq. que governam o problema ) Geometria Irregular Modelo para as Condições de Contorno Cargas Aplicadas APLICAÇÕES: Problemas que não admitem soluções analíticas (fechadas)

Na Indústria o MEF tem sido usado para otimização de projetos nas seguintes áreas : - Aeroespacial - Aeronáutica - Nuclear - Automobilística - Engenharia Civil - Construção Naval / Offshore - Previsão Metereológica - Controle de Poluição - Bio Engenharia

Sistema de Equações Algébricas No âmbito da Engenharia Mecânica o MEF pode ser situado da seguinte forma: Ciências Mecânicas Descrever o com-portamento de sistemas físicos Eq. a derivadas parciais Soluções / Simulações Eng. Preditiva Método dos Elementos Finitos Sistema de Equações Algébricas Métodos de Resolução (utilização intensiva do computador)

Campo de Aplicação : * Análise de Tensões * Transferência de Calor * Escoamento de Fluidos * Lubrificação * Campos Elétricos e Magnéticos * Interação Fluido / Solo Estruturas * Contato e Choque * Problemas de Fratura e Fadiga

- Resolução de Sistemas Lineares - Resistência dos Materiais - Elasticidade - Dinâmica - Plasticidade - Mecânica dos Fluidos ... Mecânica MEF Informática Aplicada Desenvolvimento e Manutenção de Grandes Programas Análise Numérica - Métodos de Aproximação - Resolução de Sistemas Lineares - Problemas de Auto Valor - Auto Vetor Objetivo : “ Simular o Desempenho de um Produto e do seu Meio Ambiente de Trabalho ”

1.2 Breve Histórico Década 50 - Métodos Matriciais para Análise de Estruturas Reticuladas (Barras e Vigas) - RDM - Matriz de Rigidez do Elemento - Equilíbrio / Compatibilidade Matriz Global Anos 50 - 60 ( Computadores ) - MEF - Problemas Bidimensionais ( Aeronáutica ) Uso dos Teoremas de Energia. - Princípio dos Trabalhos Virtuais - Princípio de Hamilton A Partir dos anos 60 ( Rápida Evolução ) - Formulação Variacional - Formulação por Resíduos Ponderados - Evolução da Biblioteca de Elementos * Elementos de Alta Precisão ( Hermite) * Elementos de Lados Curvos ( Isoparamétricos) - Aplicação em Problemas Não Lineares - Aplicação em Problemas Não Estacionários - Estruturas / Rochas / Solos / Fluidos / Térmica

Atualmente : * Utilização generalizada na Indústria e na Pesquisa * Programas Comerciais Disponíveis Solver - NASTRAN, ANSYS, ASKA, SAP, COSMOS, ALGOR, ADINA, ... Pré-Pós - EUCLID, PATRAN, ANSYS, XLPLUS, SAPLOT, GEOSTAR, ... * Desenvolvimento atual : - Mecânica de Estruturas : - Contato / Choque / Atrito - Otimização Estrutural - Interação Fluido / Solo / Estrutura ........ - Mecânica dos Fluidos : - Escoamento Turbulento - Escoamento Bifásico - Problemas de Poluição

2 - O Método dos Elementos Finitos e Análise Estrutural 2.1 - Noções Básicas do MEF “O Método dos Elementos Finitos é um procedimento numérico para Análise de Estruturas e Meios Contínuos” * O Método é baseado no conceito de DISCRETIZAÇÃO * Exemplo de uma Barra de Seção Variável * Objetivo : Obter o deslocamento do ponto B A B y x Lt 1 2 3 4 Modelo Contínuo Enfoque Clássico Modelo Discreto Solução Via MEF Enfoque Clássico : * Escrever equação diferencial da viga contínua de seção variável * Resolver a equação para u(x) - Deslocamento Axial * Calcular u( Lt ) - Deslocamento do ponto B

Solução Via M.E.F. * Discretizar o sistema em N sub-domínios (Elementos Finitos, N = 4) de seção constante 1 2 3 4 y x Lt * Supor que u varia linearmente em cada elemento L e x (Referência Local) * Logo, a função u(x) é contínua por sub-regiões * O deslocamento de cada elemento é calculado pela fórmula simples : onde: P = Força axial, L = Comprimento do elemento A = Área da seção, E = Módulo de Elasticidade * O deslocamento total é a soma dos deslocamentos locais.

Comentários Gerais: * Quanto maior o número de elementos melhor será a precisão. * A idéia global consiste em substituir uma solução complexa para todo o domínio na superposição de soluções simples em subdomínios. * Exemplo de uma Estrutura Plana * Objetivo : Calcular deslocamentos e tensões causadas por uma pressão (P) aplicada y x Nó (v)y P x(u) Modelo Contínuo Modelo Discretizado no Espaço * Cada nó, neste modelo tem 2 GDL : v - deslocamento na direção y u - deslocamento na direção x Nó * Se o modelo tem n nós => 2n GDL ( 2n primeiros termos da série infinita). * Modelo Contínuo possue graus de liberdade

* Forças são aplicadas nos nós - Força Modal Equivalente (Distribuição não é constante !) * Não pode-se permitir “FUROS” ou “INTERFERÊNCIAS” => “Compatibilidade” entre os elementos deve ser garantida O comportamento de cada elemento é fundamental “ Poucos elementos de alta precisão podem fornecer melhores resultados que um grande número de elementos pouco precisos ” * A precisão dos elementos está ligada ao tipo de aproximação polinomial escolhida : Suporte Geométrico - Triangular Aproximação Linear Suporte Geométrico - Quadrilateral Aproximação Linear Quadrático

* O objetivo do Método é determinar => valor da função incógnita nos nós, ou valor modal de . Os valores de ai são determinados a partir de . * Quanto mais fina a malha => se aproxima da solução exata . => caso o elemento seja corretamente formulado. * De uma forma global, para cada problema existe um tipo de elemento mais apropriado. * “ O conhecimento do problema e a visão do engenheiro são os pré requisitos básicos para definição da análise e interpretação dos resultados. ” “ O MEF e os Pacotes são apenas ferramentas de análise ”

Principais Passos de uma Análise de E.F. * Análise Linear Estática Modelo Discreto Geração de Malhas Pré-Processamento Biblioteca de Elementos / Prep-7 Características dos Elementos ==> Matriz de Rigidez do Elemento ==> Vetor de Carga do Elemento Ccndições de Contorno Montagem do Sistema Global ==> Matriz de Rigidez da Estrutura / Solu Sub-Programas de Cálculo Matricial Resolução do Sistema Linear q ==> Vetor dos Deslocamentos Modais Cálculo das Tensões nos Elementos Pós-Processamento / Post 1 T ==> Tensões nos Elementos