SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES Objetivos: Analisar a solução de equações não lineares na análise dinâmica Solução de equações não lineares

Solução de equações não lineares Introdução A solução da resposta dinâmica não linear de um sistema de elementos finitos é obtida através dos procedimentos: Formulações incrementais Soluções iterativas Algoritmos de integração no tempo Explora-se na seqüência como estes procedimentos são empregados juntos na análise dinâmica não linear. Solução de equações não lineares

Solução de equações não lineares Integração explícita A restrição do método reside que para estabilidade o passo do tempo satisfaz, O operador de integração no tempo explícito usado na análise dinâmica não linear é o operador de diferença central. O equilíbrio do sistema de elementos finitos é considerado no tempo t para calcular os deslocamentos em t+t. Desprezando o efeito da matriz de amortecimento, opera-se para cada passo de tempo nas equações: e Tn é o menor período do modelo MEF. A restrição, derivada no sistema linear, aplica-se também para um sistema não linear, pois para cada passo do tempo a resposta não linear aproxima-se da linear. Mas na análise não linear as propriedades de rigidez mudam no calculo da resposta. Estas mudanças nas condições do material e/ou geométricas entram na avaliação do vetor de forca tF. Como Tn não é constante durante o calculo da resposta, o t precisa diminuir se o sistema enrijece, satisfazendo t≤Tn/. tF: vetor de forças nodais correspondentes às tensões elementares no tempo t tR: vetor de cargas nodais aplicadas externamente no tempo t A solução para t+tU é obtida substituindo a diferença central para as acelerações, Solução de equações não lineares

Solução de equações não lineares Integração implícita Usando a regra trapezoidal de integração no tempo, assume-se, Os esquemas de integração implícita no tempo para análise dinâmica linear servem para análise não linear. Uma técnica comum é a regra trapezoidal, chamado método de Newmark para =½ e =¼, método usado para demonstrar mais considerações na análise não linear. Das últimas três equações da para obter: Como na análise linear considera-se o equilíbrio do sistema no tempo t+t, o que precisa que uma iteração seja feita. Usando a iteração de Newton-Raphson modificada, as equações de equilíbrio sem considerar o amortecimento são: e substituindo na primeira, temos: onde, A análise não linear dinâmica, usando integração no tempo implícita, é da mesma forma que a análise não linear estática, exceto que a matriz de coeficientes e o vetor de forças nodais contem contribuições da inércia do sistema. Solução de equações não lineares

Solução de equações não lineares Integração implícita (cont.) RTOL: tolerância de força ETOL: tolerância de energia Como a inércia do sistema suaviza a resposta estática, a convergência da iteração é mais rápida e melhora ao diminuir t. A contribuição da matriz de massa cresce e chega a ser dominante ao diminuir t. Caso Pendulo simples idealizado como elemento de treliça (truss) com uma massa concentrada no seu extremo livre. O pêndulo libera-se da posição horizontal e a resposta é obtida para um período de oscilação. As tolerâncias de convergência, incluindo os efeitos de inércia, são: Análise de um pêndulo simples usando regra trapezoidal, RNORM=mg Usar (resumo): um operador incondicionalmente estável da análise linear (i.e. regra trapezoidal), iterações de equilíbrio com tolerâncias de convergência estreitas, um passo de tempo que permita convergência nas iterações de equilíbrio Solução de equações não lineares

Solução de equações não lineares Sobreposição modal As equações de equilíbrio para solução da resposta no tempo t+t são: Aplicam-se os mesmos princípios básicos da análise linear. Os modos e freqüências de vibração mudam, e para transformar a matriz de coeficientes na forma diagonal, os modos de vibração livre do sistema no tempo t devem ser usados na transformação. K: matriz de rigidez de uma configuração em algum tempo prévio  Na análise de sobreposição modal usa-se: O cálculo dos modos e freqüências de vibração no tempo t, quando estas foram calculadas em um tempo anterior, podem ser economicamente usadas no método de iteração de sub-espaços. t+txi: i-ésimo deslocamento modal generalizado no tempo t+t i, i: freqüências e modos de vibração livre do sistema no tempo  A análise por sobreposição modal da resposta dinâmica não linear é normalmente efetiva somente quando a solução pode ser obtida sem atualizar a matriz de rigidez tão freqüentemente. e o sistema nos deslocamentos modais generalizados no tempo  resulta: Efetiva se poucos modos são considerados. (ex. resposta terremoto e excitação vibrat.) Solução de equações não lineares

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