DERIVADAS E DIFERENCIAIS IV Nice Maria Americano da Costa

Introdução Nesta aula, discutiremos um conjunto de teoremas relativos às funções deriváveis: Teorema de Rolle Teorema de Lagrange Teorema de Cauchy Teorema de L´Hospital Teoremas sobre extremos Estes teorema são úteis à análise do comportamento das funções:

FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS: TEOREMAS Teorema de Rolle. Se a função é contínua no intervalo [a,b], derivável em todos os pontos interiores do intervalo e se anula nas extremidades dele, então existe, ao menos um ponto intermediário x=c, a<c<b, onde a derivada se anula, i. e., f’(x)=0, para x=c Demonstração. Suponha que a função atinja, ao menos uma vez, seu limite superior, M, no ponto x=c. Temos então que f(c )=M. Se f(c ) é o limite superior da função, dando um acréscimo à variável x, x, teremos, f(c+ x)-f(c )<0, independente de x ser positivo ou negativo: c c-x M c+x

Aplicando, agora limite às expressões anteriores, teremos O teorema de Rolle vale também para o caso de uma função que não se anula nos extremos do intervalo [a,b], mas que, nestes pontos, se tem f(a)=f(b). a y b f(a)=f(b) c1 c2 x

Teorema de Lagrange. Se a função é contínua no intervalo [a,b] e derivável em todo ponto interior do intervalo, existe então, ao menos, um ponto c, a<c<b, tal que f(b)-f(a)=f’(c )[b-a]. Demonstração. Consideremos a equação da reta secante à curva nos pontos A e B c a A b x C B y f(a) f(b) N M Construamos agora a função F(x) que mede a diferença entre a curva y=f(x) e esta reta secante Nos extremos do intervalo [a,b], esta nova função se anula, porque a diferença entre a secante e a curva, ai é zero. Temos então

Então a função F(x) satisfaz à hipótese dos Teorema de Cauchy Então a função F(x) satisfaz à hipótese dos Teorema de Cauchy. Logo, podemos escrever para ela:

Demonstração. Seja Q: onde Teorema de Cauchy. Sejam f(x) e (x) duas funções continuas no intervalo [a,b], deriváveis nele, e seja (x) tal ’(x) não se anula em nenhum ponto deste intervalo. Então existe um ponto x=c no interior do intervalo, a<c<b, tal que : Demonstração. Seja Q: onde Construamos uma função F(x) Dessa construção, temos que F(a)=0 e F(b)=0. Consequentemente, F(x) satisfaz as condições do Teorema de Rolle. Então, existe um ponto x=c, onde F’( c )=0. Mas,

então

Teorema de L’Hospital . Sejam f(x) e (x) duas funções satisfazendo às condições do teorema de Cauchy e se anulando no ponto a, i. e., f(a)= (a). Se, por outro lado a relação entre as derivadas de f e de (x) existe, quando x tende a z, então o limite da relação entre as derivadas existe e é igual ao limite da relação entre estas duas funções.